Web Sketchpad radovi iz XV. gimnazije u Zagrebu
elementarni modeli i primjeri iz nastave u XV. gimnaziji u Zagrebu
autori ove datoteke: Sanja Antoliš, Aneta Copić, Eva Špalj i Petar Mladinić
Riječ, dvije $\dots$
Pred Vama je interaktivna knjiga. Svi modeli, primjeri i zadatci koji će biti prezentirani izabrani su kao primjeri uporabe WSP u poučavanju u osnovnoj i srednjoj školi.
U ovoj datoteci prezentirat ćemo primjere kreirane na klasičan način, koji su primjenom softvera Sketchpad HR5.03 i WSP konvertirani u dinamičnu html datoteku. Raspravit ćemo i određene aspekte uporabe alata i pokušati ukazati kako se ti alati uporabljuju u određenoj datoteci.
U ovim se datotekama i radovima obrađuju pojmovi gimnazijskog matematičkog kurikula koji se tijekom nastavne godine poučavaju od 1. do 4. razreda u XV. gimnaziji u Zagrebu.
Zadatci kojima se prezentiraju pojmovi i njihova rješenja postavljeni su istraživački i izvrstan su primjer dobre prakse u nastavi matematike uporabom softvera dinamične matematike Sketchpad.Datoteke su kreirane, uporabljene i provjerene u radu s učenicima tijekom školske godine 2020./2021. Ovdje ih objavljujemo 13. lipnja 2021. godine i na taj način ih činimo dostupnima svim zainteresiranim nastavnicima.
Na učiteljima/ nastavnicima i učenicima je zadaća stjecanja iskustva/ vještina kao i promišljanje o kreativnoj uporabi potpuno novog i vrhunskog softvera u cilju boljeg/ svrsishodnijeg poučavanja i učenja matematike.U ovom slučaju to je poučavanje i učenje matematičkih modela, modeliranja, primjena i otkrivanje teoretskih modela, tj. funkcija. Iza svakog od modela, primjera i zadatka „skriva se“ ili možda bolje je reći može se otkriti neka od funkcija, tako da matematički model opisuje sustav koristeći matematičke koncepte i jezik.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$ Matematički model je približni opis neke realne pojave izražen matematičkim jezikom/simbolikom.Proces matematičkog modeliranja realizira se u 4 etape/koraka:
- korak: formuliranje zakonitosti povezane s temeljnim objektima.
- korak: istraživanje matematičkog problema "ugrađenog" u matematički model.
- korak: razjašnjenje je li matematički model usklađen s realnim podatcima, činjenicama na koje se odnosi model.
- korak: posljedica je analize modela i varijabli te njegovom modernizacijom/nadogradnjom.
Proces razvoja matematičkog modela naziva se matematičkim modeliranjem. Matematički modeli se koriste u prirodnim znanostima (kao što su fizika, biologija, znanost o zemlji, kemija i inženjerske discipline (npr. kao računalna znanost, elektrotehnika), kao i u društvenim znanostima (npr. ekonomija, psihologija, sociologija, političke znanosti).
Model može pomoći u objašnjavanju sustava i proučavanju učinaka različitih komponenti i predviđanju ponašanja.
Kako svrha modeliranja je povećati naše razumijevanje svijeta, valjanost modela počiva ne samo na njegovoj prilagodbi empirijskim opažanjima, već i na njegovoj sposobnosti da ekstrapolira na situacije ili podatke izvan onih koji su izvorno opisani u modelu.
To se može smatrati razlikovanjem kvalitativnih i kvantitativnih predviđanja.
Može se također tvrditi da je model bezvrijedan ako ne pruža neki uvid koji nadilazi ono što je već poznato iz izravnog istraživanja fenomena koji se proučava.
U ovoj datoteci razmotrit ćemo samo temeljne elementarne matematičke modele kao abecedu s kojom bi trebao biti upoznat svaki učenik tijekom svojeg školovanja.
Model aritmetičkog rasta vodi na linearni graf, linearnu funkciju i jednadžbu.
Model kvadratnog rasta vodi na kvadratni graf, kvadratnu funkciju i jednadžbu.
Model geometrijskog rasta vodi na eksponencijalni graf, eksponencijalnu funkciju i jednadžbu.
Logaritamski model utemeljen je na pojmu da je logaritamska funkcija inverzna eksponencijalnoj.
Model logističkog rasta vodi na logistički graf, logističku funkciju i jednadžbu.
Gielisov model vodi na Gielisovu formulu, koja je nastala kao poopćenje Pitagorinog poučka zapisanog u polarnim koordinatama, i kao takva omogućuje nam (i u 2D i u 3D) vizualizaciju prirodnih (kao i izmišljenih) objekata te uspješno modeliranje mikro i makro bioloških organizama, ali i funkcija.
Poznati prvi povijesni primjer otkrića i primjene proučavanjem podataka i modeliranjem (kvadratnim rastom) je Galileovo proučavanje gibanja/kotrljanja kuglice na kosini početkom 17. stoljeća.
Opis tog njegovog otkrića i način na koji se prvi put u matematici pojavio funkcijski model kojim se opisuje neka pojava možete naći u udžbeniku Matematika za drugi razred gimnazija koji su napisali J. Gusić, P. Mladinić, B. Pavković i koji je izdala Školska knjiga.
Definiranjem i istraživanjem eksplicitno ćemo ilustrirati kako se na primjerima mogu ostvariti neki ishodi Nacionalnog okvirnog kurikuluma (NOK-a):
- $\dots$ uspostaviti i razumjeti veze i odnose među matematičkim objektima, idejama, pojmovima, prikazima i postupcima te oblikovati cjeline njihovim nadovezivanjem,
- $\dots$ organizirano prikazati matematičke objekte, ideje, postupke i rješenja riječima, slikama, crtežima, maketama, dijagramima, grafovima, listama, tablicama, brojevima,
simbolima i misaono,
- $\dots$ postavljati matematici svojstvena pitanja (Postoji li? Ako postoji, koliko? Kako ćemo ih pronaći? Zbog čega? i slična) te stvarati i istraživati na njima zasnovane matematičke
pretpostavke,
- $\dots$ obrazložiti odabir matematičkih postupaka i utvrditi smislenost dobivenoga rezultata,
- $\dots$ pratiti, stvarati i vrjednovati lance matematičkih argumenata različitih vrsta te primjenjivati analogiju, generalizaciju i specijalizaciju,
- $\dots$ kreativno, kritički i fleksibilno misliti,
- $\dots$ primijeniti koordinatnu geometriju, za prikazivanje i istraživanje svojstava geometrijskih oblika,
- $\dots$ rabiti geometrijske transformacije ravnine za opisivanje pravilnosti i svojstava geometrijskih uzoraka,
- $\dots$
Dakle, ovom se datotekom, osim nabrojenih zahtjeva, ilustrira i mogući razvoj samopouzdanja koje učenicima omogućuje "otkrivanje" razine koju postižu rješavanjem primjera, zadanih problema i zadataka. Na ovaj način oni mogu otkriti i spoznati mnoge "nove" zanimljive činjenice elementarne ("školske") matematike.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
"Inteligentna" ("pametna") tehnologija utječe na učenje i poučavanje tako da neki sadržaji postaju suvišni, neki važniji, a neki mogući. Korisna je za razvoj pojmovnog razumijevanja i sposobnosti rješavanja problemskih zadataka.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
Funkcije se smatraju jednim od najvažnijih pojmova srednjoškolske matematike, nužnim za učenje i razumijevanje matematike. Najizraženija značajka pojma funkcije je raznolikost prikazivanja: grafički, tablicama pridruženih vrijednosti, simbolički i verbalnim opisima.
Za uspješnu izgradnju ovog kompleksnog pojma, važno je poticati razvoj svih njegovih aspekata. Posebice je važan povijesni aspekt uočavanja i modeliranja konkretnih problema te njihovim razvojem otkrivati teorijski model, tj. funkciju kojom se taj problem može opisati.
Uvidom u udžbenike i nastavu praksu može se zaključiti da u hrvatskom obrazovanju dominira aspekt funkcije kao pravila pridruživanja s istaknutim algebarskim pristupom, ali ne i predhodnim razmatranjem numeričkih modela, tj. podataka.
Imajući to na umu, polazeći od poznatih relevantnih svjetskih teorijskih okvira, razvili smo teorijski okvir koji opisuje razine razvoja pojma funkcije: od numeričkog modela do teorijskog modela i pojma funkcije.
Okvirom su dani opis i specifični zahtjevi aritmetičkog, geometrijskog i ostalih modela. $$ *\ *\ *\ *\ *\ $$ Michael de Villiers je u predgovoru svoje knjige Boolean Algebra at School napisao:
Matematičar je poput čovjeka/šetača s povezom preko očiju, upadajući u nepoznato, ovješen između neba i zemlje na vitkoj niti matematičke logike.
Strpljivo balansirajući i pažljivo osjećajući svoj put prema naprijed, oslanjajući se samo na intuiciju, maštu i spretnost uma, pokušava dostići sigurnost matematičkog modela.
Kad se treba spustiti na zemlju, samo sigurnosna mreža hrabrosti (i uvjerenja) omogućit će mu da se popne natrag s odlučnošću.
Konačno, kad uspije, javnosti se hvali svojim aerobatskim mentalnim sposobnostima. No, bez njih je shvaćanje uspjeha izgrađeno na mnogim greškama i čestim klizanjima stopala.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$ G. W. von Leibniz je napisao:
Ja (planiram) i pišem tako da učenik uvijek može vidjeti unutarnje tlo stvari koje nauči, čak i tako da mu se izvor otkrića može pojaviti na takav način da učenik može shvatiti sve kao da ga je sam izmislio/otkrio.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
Ove su primjere i zadatke kreirale profesorice XV. gimnazije u Zagrebu: Sanja Antoliš, Aneta Copić i Eva Špalj, a Petar Mladinić ih je konvertirao pomoću WEB Sketchpada u html datoteke.
1. Radovi Sanje Antoliš
1. Tablice
2. Graf funkcije $|a|$
3. Potencije broja 2
4. Eksponencijalne nejednadžbe
5. Trigonometrijske jednadžbe i nejednadžbe
2. Radovi Anete Copić
1. Apsolutna vrijednost
2. Kvadratna nejednadžba
3. Nadopunjavanje do potpunog kvadrata
4. Trigonometrijski omjeri - uvod
3. Radovi Eve Špalj
1. Kvadratna nejednadžba
2. Pisa
3. Stanovništvo
4. Graf logaritamske funkcije
5. Graf funkcije sinus i kosinus
6. Trigonometrijske nejednadžbe
7. Sustavi trigonometrijskih jednadžbi
8. Primjena trigonometrije u stereometriji
9. Konstrukcije elipse
10. Derivacija
7. Bilješka o autorima ove datoteke
Životopisi
Sanja Antoliš rođena je 22. 3. 1961. u Zagrebu.
Završila je Prirodoslovno matematički fakultet u Zagrebu.
Sanja Antoliš, prof. izvrsni savjetnik radi kao nastavnik matematike u XV. gimnaziji.
Autor je udžbenika i zbirki zadataka iz matematike za srednju školu, digitalnih obrazovnih sadržaja iz matematike i članaka vezanih uz metodiku nastave matematike.
Mentor je studentima i pripravnicima matematike.
Sudjeluje u Erasmus$^{+}$ projektima MERIA i TIME koji promiču istraživačku nastavu matematike.
Područje interesa je metodika nastave matematike s naglaskom na primjenu tehnologije u nastavi matematike i rad s darovitim učenicima.
U posljednje je dvije godine dobitnik nagrade za najuspješnije odgojno-obrazovne radnike.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
Aneta Copić rođena je 19. 12. 1963. godine u Šibeniku.
Diplomirala je 1986. godine na Prirodoslovno-matematičkom fakultetu u Zagrebu, matematički odjel, profesorski profil, usmjerenje: Algebra i analiza.
U listopadu 2020. godine napredovala je u zvanje prof. izvrsni savjetnik, a radi kao nastavnik matematike u XV. gimnaziji.
Voditeljica je županijskog stručnog vijeća za gimnazije Grada Zagreba i voditeljica podpovjerenstva za B-varijantu natjecanja u okviru Državnog povjerenstva za natjecanje iz matematike.
Područje profesionalnog interesa je primjena tehnologije u nastavi matematike i istraživački orijentirana nastava.
Autor je udžbenika i zbirki zadataka iz matematike za srednju školu, digitalnih obrazovnih sadržaja iz matematike i niza članaka vezanih uz metodiku nastave matematike.
Mentor je studentima i pripravnicima matematike, vanjski suradnik Prirodoslovno matematičkog fakulteta.
Sudjeluje u Erasmus$^{+}$ projektima MERIA i TIME koji promiču istraživačku nastavu matematike.
U posljednje je dvije godine dobitnik nagrade za najuspješnije odgojno-obrazovne radnike.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
Eva Špalj rođena je 20. 3. 1962. godine u Zagrebu
Diplomirala na Prirodoslovno-matematičkom fakultetu u Zagrebu, matematički odjel, inženjerski profil, usmjerenje: Matematička informatika i statistika.
Eva Špalj, prof. savjetnik nastavnica je matematike u međunarodnom i nacionalnom programu u XV. gimnaziji u Zagrebu.
Vanjska je suradnica na dva kolegija na Matematičkom odsjeku Prirodoslovno-matematičkog fakulteta u Zagrebu.
Autorica je udžbenika i zbirki zadataka iz matematike za srednju školu, digitalnih obrazovnih sadržaja iz matematike i članaka vezanih uz metodiku nastave matematike.
Mentorica je studentima matematike.
Sudjeluje u Erasmus$^{+}$ projektima MERIA i TIME koji promiču istraživačku nastavu matematike.
Područje njezinog interesa je metodika nastave matematike s naglaskom na primjenu tehnologije u nastavi matematike i rad s darovitim učenicima.
U posljednje je dvije godine dobitnica nagrade za najuspješnije odgojno-obrazovne radnike.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
Petar Mladinić rođen je 1950. godine u Zagrebu, gdje je diplomirao matematiku na Prirodoslovno-matematičkom fakultetu u Zagrebu.
Njegov rad ima dugotrajan učinak na poboljšanje odgojne i obrazovne prakse. Kao voditelj Nastavne sekcije Hrvatskoga matematičkog društva pridonosio je razvoju profesionalnih potreba učitelja/nastavnika, učenika i studenata u formalnome i neformalnom svakidašnjem i cjeloživotnom učenju i poučavanju.
Organizirao je više od 150 predavanja, mnogobrojne radionice, pokrenuo Ljetnu školu Ruđera Boškovića te Ljetnu školu V. gimnazije i HMD-a.
Za profesionalne potrebe učitelja, učenika i studenata utemeljio je četiri matematička časopisa: Poučak, Matka, Playmath i math.e te inicirao izdavanja knjiga u sklopu Male matematičke i Matkine biblioteke.
Napisao je stotinjak stručnih članaka, knjiga, gimnazijskih i drugih udžbenika, potaknuo prijevode i preveo nekoliko knjiga te organizirao na desetke radionica za nastavnike i učenike.
Pridonio je razvoju sustava obrazovanja u matematičkom području kao član Vijeća za nacionalni kurikulum i član Radne skupine za izradu Nacionalnoga okvirnog kurikuluma za matematiku.
Godine 2011. prijavio je projekt V. gimnazije IPAQ Peta - afirmativna nastava i inovativno poučavanje u gimnazijama u okviru HKO koji je realiziran s timovima četiriju gimnazija - iz Vukovara, Pakraca, Knina i Metkovića - te Prirodoslovno-matematičkim fakultetom iz Zagreba, uz sudjelovanje 1200 učenika i 1000 nastavnika.
Osmislio je i organizirao projekt dvogodišnjih okupljanja učitelja i nastavnika matematike (susreti i kongresi nastavnika matematike) na kojima su izlagali hrvatski nastavnici, kao i najugledniji strani stručnjaci iz područja nastave matematike.
Utemeljio je hrvatski ogranak TTT (Teacher Teaching Technology).
Utemeljio je i više godina vodio Geometrijske radionice HMD-a.
Kao nastavnik, a posebno kao ravnatelj V. gimnazije, aktivno je uključen u zajednicu, osnažuje demokratske procese, toleranciju i solidarnost među mladim ljudima i njihovim roditeljima.
U slobodnom vremenu bavio se i suđenjem rukometnih utakmica. Prvi je hrvatski međunarodni sudac koji je licencu postigao u Lijepoj Našoj. Od 1993. do 1999. godine bio je član tzv. elitne liste sudaca IHF-a (International handball federation). Sudio je utakmice na Olimpijadi u Atlanti, na 4 svjetska prvenstva, 3 europska, 2 azijska i na mediteranskim igrama. Sudio je završnu utakmicu japanskog prvenstva, kao i tuniskog. Također je sudio 7 završnih utakmica europskih kupova, utakmice na dva svjetska kupa te prvi europski super kup. Na obilježavanju 100 godina športa u Austriji sudio je utakmicu između ženskih reprezentacija Austrije i Svijeta. Ukupno je sudio na više od 250 međunarodnih utakmica.
Odlikovan je Spomenicom Domovinskog rata 1990. - 1992., odličjem Reda hrvatskog pletera i dobitnik je Državne nagrade Ivan Filipović za godinu 2015.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
[per kcpt.github.io]. License: Creative Commons CC-BY-NC-SA 4.0