Web Sketchpad za osnovnu i srednju školu

 

                                                6. razred osnovne škole

                        Petar Mladinić i Nikol Radović

U nizu vizualizacija omogućena je uporaba WSP alata. Uporabom njihovom mogu se izravno na stranici (html datoteci) mijenjati parametri, istraživati promjene i kreirati hipoteze.

Matematičke oznake i formule napisane su pomoću Latex-a i generiraju se kad je računalo povezano s internetom.

Dobro došli u virtualni svijet matematike

Video datoteke

Ovdje smo stavili dvije video datoteke kao ilustraciju mogućnosti njihove uporabe u kreiranju ove datoteke.

Audio datoteke

Ove dvije audio datoteke sadrže dvije pjesme. Ostale audio datoteke ukazuju na neke aspekte prezentiranih datoteka nakon njih.

       Riječ, dvije $\dots$

Ovo je interaktivna knjiga. Sadržaji koji će se prezentirati izabrani su kao primjeri uporabe Web Sketchpada (WSP) u osnovnoj i srednjoj školi. U ovoj ću datoteci prezentirati radove koji su kreirani pomoću Sketchpada, a pomoću WSP-a konvertirani u dinamičnu html datoteku. Raspravit ću i određene aspekte uporabe alata i pokušati ukazati kako se uporabljuju ti alati na definiranim primjerima. Na učiteljima/nastavnicima i učenicima je težište stjecanja iskustva i promišljanje kreativne uporabe ovog potpuno novog i vrhunskog softvera u cilju boljeg poučavanja i učenja matematike. Definiranjem i istraživanjem eksplicitno ću ilustrirati kako se na primjerima mogu ostvariti neki ishodi Nacionalnog okvirnog kurikuluma (NOK-a):

• $\dots$ uspostaviti i razumjeti veze i odnose među matematičkim objektima, idejama, pojmovima, prikazima i postupcima te oblikovati cjeline njihovim nadovezivanjem,
  
  
• $\dots$ organizirano prikazati matematičke objekte, ideje, postupke i rješenja riječima, slikama, crtežima, maketama, dijagramima, grafovima, listama, tablicama, brojevima, simbolima i misaono,
  
• $\dots$ postavljati matematici svojstvena pitanja (Postoji li? Ako postoji, koliko? Kako ćemo ih pronaći? Zbog čega? i slična) te stvarati i istraživati na njima zasnovane matematičke pretpostavke,
  
• $\dots$ obrazložiti odabir matematičkih postupaka i utvrditi smislenost dobivenoga rezultata,
  
• $\dots$ pratiti, stvarati i vrjednovati lance matematičkih argumenata različitih vrsta te primjenjivati analogiju, generalizaciju i specijalizaciju,
  
• $\dots$ kreativno, kritički i fleksibilno misliti,
  
• $\dots$ primijeniti koordinatnu geometriju, za prikazivanje i istraživanje svojstava geometrijskih oblika,
  
• $\dots$ rabiti geometrijske transformacije ravnine za opisivanje pravilnosti i svojstava geometrijskih uzoraka,
  
• $\dots$
  

Dakle, ovom se datotekom, osim nabrojenih zahtjeva, ilustrira i mogući razvoj osjećaja za analogiju koja učenicima omogućuje drukčije razmišljanje. Na ovaj način oni mogu otkriti i spoznati mnoge "nove" zanimljive činjenice elementarne ("školske") matematike.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
"Inteligentna" ("pametna") tehnologija utječe na učenje i poučavanje tako da neki sadržaji postaju suvišni, neki važniji, a neki mogući. Korisna je za razvoj pojmovnog razumijevanja i sposobnosti rješavanja problemskih zadataka.

U pisanju ove datoteke i istraživanju uporabe ovih primjera oslonilo sam se na mogućnosti softvera dinamične geometrije Sketchpad 5.03HR, a posebice na softver Web Sketchpad kojim se kovertiraju .gsp datoteke u .json datoteke uključene u .html datoteku. Softver Web Sketchpad kreirali su Scott Steketee i Daniel Scher američki programeri, sveučilišni profesori i metodičari.
Koncept/ideja koordinata omogućava da se geometrijskim objektima pridružuju algebarski objekti. Moguće je i obrnuto, algebarskim objektima pridružiti odgovarajuće geometrijske objekte. Ako se to ima na umu, onda se Sketchpad vrlo kreativno i efikasno može uporabiti za vizualizaciju, proučavanje i istraživanje algebre, a ne samo geometrije. Dakle, to je alat za sve sadržaje školske i velikog dijela "više" matematike. Postoje prekrasni primjeri uporabe Sketchpada u "višoj" (fakultetskoj) matematici, primjerice u vizualizaciji ploha ili kompleksnim funkcijama ili Booleovoj algebri itd.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
Ovdje su ilustrirana četiri aspekta Sketchpadovih datoteka koje su konvertirane Web Sketchpadom i ugrađene u ovu html datoteku:

• gotovi materijali za rad i istraživanje (s uputama i razradom),
  
• predlošci za samostalan rad korisnika (s uporabom alata u rješavanju konkretnih zadataka/problem),
  
• simulatori,
  
• poglavlje knjige koja je iskreirana uporabom Sketchpada i LaTexa.
  

$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
Svojim recenzijama i savjetima te prijedlozima i iskustvom uporabe bitno ćete mi pomoći tekst popraviti kao i uputiti koji Vas primjeri zanimaju, ako mi svoja promišljanja uputite na web stranicu www.huni.hr ili e-adresu petar.mladinic1@zg.ht.hr.

Od srca zahvaljujem svima koji mi ukažu na pogrješke (bilo koje vrste) i predlože poboljšanja ili ispravke koje ću odmah unijeti u datoteku/prijelom, a "svjetlo dana" ugledat će u sljedećem izdanju datoteke i biti objavljeni odmah na web stranici www.huni.hr .

Također se zahvaljujem kolegi Predragu Brođancu koji mi je pomogao u učenju i "otkrivanju" mogućnosti i tajni html-a. Zahvaljujemo se i svima imenovanima i neimenovanima na uporabi njihovih uradaka koji su nam poslužili u kreiranju naših.

Veliku zahvalu upućujem Scottu Steketee i Danielu Scheru koji su mi omogućili sudjelovati testiranjem posljednjih 5 - 6 godina u stvaranje (dok su stvarali/programirali WSP) i uporabu njihovog Web Sketchpada i koji su mi davali i još uvijek daju dragocjene savjete u kreiranju ove html datoteke (a i ostalih radova/datoteka).
       petar.mladinic1@zg.ht.hr
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$

1. Uvod

Uvodno pogledajmo nekoliko sljedećih primjera.

Igra/slagalica poznata pod nazivom Tangram vrlo lijepo oslikava mogućnosti uporabe njezine u matematičkim promišljanjima i strategijama koje djeca uporabljuju u slaganju zadanih figura.

Primjer 1. Dijelove Tangrama složite tako da dobijete likove koji se spominju na animacijskom gumbu.

Primjer 2. Ovdje se ilustrira niz primjera uporabe Sketchpada u osnovnoj školi (od 1. do 8. razreda).

Primjer 3. Ovdje se ilustrira primjer uporabe Sketchpada u rješavanju strip zadatka Tko je najjači?.

Primjer 4. U ovom se primjeru ilustrira rješenje 5 različitih problema koji se efikasno vizualiziraju. Za vizualizaciju i programiranje u prvi plan stavlja "programiranje" pomoću Sketchpadovih mogućnosti, a ne nekog od poznatih programskih jezika.

Primjer 5. U ovom se primjeru ilustrira istraživanje je li točka ili krug u nekom skupu ili nije. Za vizualizaciju i programiranje u prvi plan se stavlja "programiranje" pomoću Sketchpadovih mogućnosti, a ne nekog od poznatih programskih jezika.

Razred: 6.

Prema novom kurikulu neki se sadržaji sada nalaze u razredu različitom od dosadašnjeg.

Predlažemo da se prije uporabe ovih datoteka pregledaju sadržaji susjednih razreda te na taj način uoče sve datoteke koje se mogu rabiti u planiranom razredu (sukladno starom ili novom kurikulu).

Rješavanje jednadžbi U ovom primjeru prikazano je rješavanje linearnih jednadžbi pomoću vage.

Stavljajući utege (poznate mase ili nepoznate mase x) na jednu i drugu stranu klasične vage treba odrediti nepoznatu masu x.

Operacije dodavanja i otklanjnja utega usko su povezane s računskim operacijama kod rješavanja jednadžbi. Suprotni brojevi uvijek u zbroju daju 0, pa se utezi sa suprotnim masama mogu "skinuti" s vage.

Uostalom, zapis vrijednosti predmeta na lijevoj strani i desnoj strani vage, ako je vaga u ravnoteži, jest linearna jednadžba. Ako vaga nije u ravnoteži, onda je riječ o nejednadžbi.

Pogledajte datoteku sa zadatcima

Zbrajanje i oduzimanje cijelih brojeva U ovom se primjeru ilustrira zbrajanje i oduzimanje cijelih brojeva.

Množenje cijelih brojeva U ovom primjeru prikazano je množenje cijelih brojeva pomoću grupiranja i pomoću površine pravokutnika.

Postotak U ovom se primjeru ilustrira prikazivanje i računanje postotka.

Prikaz i usporedba razlomaka U ovom se primjeru ilustrira prikazivanje i uspoređivanje razlomaka.

Također se ilustrira skraćivanje ili proširivanje razlomka.

Zadatak: Zadajte dva razlomka (razlomak 1 i razlomak 2 pomoću njihovih brojnika i nazivnika). Uključite i parametar k. Pomoću kalkulatora i uporabom vrijednosti parametra k pokažite i brojčano da su razlomci jednaki ili su različiti.

To se očito vidi iz grafičkog prikaza ovih razlomaka.

Ovu datoteku se može uporabiti i za pretvaranje nepravog razlomka u mješoviti razlomak.

Kalkulator se može uporabiti i za decimalni prikaz razlomka.

Aritmetička sredina U ovom primjeru prikazana su tri primjera računanja aritmetičke sredine: uspjeh na kraju razreda, uspjeh iz nekog predmeta i aritmetička sredina s 12 ili manje podataka.

Klikom na parametre predmeta upišu se svoje ocjene i dobije se na zaslonu osobni uspjeh.

Zumiranje zapisa broja U ovom primjeru prikazano je decimalno "zumiranje" zapisa broja.

Algoritam rješavanje jednadžbe U ovom primjeru prikazano je rješavanje linearnih jednadžbi pomoću vage i utega i balona. Na taj se način uvježbava/ilustrira algoritam/postupak kojim se rješavavaju algebarski zadane jednadžbe.

Zvijezda U ovom se primjeru ilustrira zbroj kutova u vrhovima zvijezde.

Dokazi bez riječi U ovom je primjeru prikazano dokazivanje bez riječi koje je načinio Vašiček.

Tajni zbrojevi Tajni zbrojevi je igra logike koja razvija vještine ranog algebarskog rasuđivanja učenika dok otkrivaju brojčane vrijednosti koje su dodijeljene četirima geometrijskim oblicima. Na stranici 3. u Show odgovor vide se parametri u koje se dvoklikom na njih otvara kalkulator kojim se mogu promijeniti cjelobrojne vrijednost (cijeli brojevi) likova. U tom slučaju se ova igra može proširiti na igru dvoje učenika u kojoj naizmjenično jedan drugome zadaju zadatke.

Jednadžbe zadane s likovima U lijevom stupcu nalaze se jednadžbe zadane s krugovima i kvadratima. Kad prenesemo jednadžbu u desni stupac dobiva se zbroj vrijednosti nepoznanica naznačenih u toj odabranoj jednadžbi. Odabirom jednadžbi i njihovom usporedbom mogu se dobiti podatci iz kojih se onda može zaključi kolika je vrijednost zadanih nepoznanica.

Simetrala kuta U ovom se primjeru ilustrira konstruiranje simetrale kuta.

Trokuti U ovom se primjeru ilustriraju poučci o sukladnosti trokuta, karakteristične točke trokuta, vrste trokuta, zbroj unutarnjih kutova trokuta te površina trokuta.

Mnogokuti U ovom se primjeru ilustriraju vrste četverokuta, zbroj unutarnjih kutova te formule za površinu paralelograma i trapeza.

Cjelobrojna mreža i Pickova formula za površinu mnogokuta U ovoj se cjelobrojnoj mreži mogu crtati i mjeriti mnogokuti. Vrhovi su u točkama s cjelobrojnim koordinatama. Uporabom Pickove formule lako se određuje površina nacrtanog mnogokuta. Klikom na parametre s i u otvori se prozor u koji se onda može upisati vrijednost.

Alati s lijeve strane priređeni su za uporabu (mjerenje i računanje).

Omjeri i razmjeri U ovom se primjeru ilustriraju omjeri i razmjeri

Rezanci U ovom se primjeru ilustrira operacija pravljenja rezanaca u nekom vremenskom intervalu.

Zadatak je odrediti/izračunati koliko se rezanaca proizvede za određeno vrijeme. Nakon što se "prognotzira" rezultat treba ga provjeriti na ispisu animacije/crteža procesa proizvodnje rezanaca.

Dilema slikara U ovom se primjeru ilustrira problem određivanja površine slikarskog platna.

Kvadrat je kružnica U ovoj se datoteci ilustrira problem taksista i goluba na njegovom ramenu. Treba odrediti/ispitati koje su granice taksi-zone, a koje su granice golubove-zone. Riječ je o problemu najkraće udaljenosti između točaka A i B. Taksist i golub to postižu na različite načine.

Popločavanje ravnine U ovom se primjeru ilustrira popločavanje ravnine sukladnim likovima. Oblik i dimenzije lika lako se mogu mijenjati tako da se povuku vrhovi mnogokuta kojim je definirano popločavanje.

Igra: Trax Ovo je igra slaganja likova pomoću malih kvadrata.

Dvije igre slaganja kvadratića U ovom su primjeru ilustrirane dvije igre slaganja kvadratića i na njima nacrtanih dijelova krivulje. Pravila slaganja napisana su uz sliku velikog kvadrata.

Bilješka o autorima

Životopisi

Petar Mladinić rođen je 1950. godine u Zagrebu, gdje je diplomirao matematiku na Prirodoslovno-matematičkom fakultetu.

Njegov rad ima dugotrajan učinak na poboljšanje odgojne i obrazovne prakse. Kao voditelj Nastavne sekcije Hrvatskoga matematičkog društva pridonosio je razvoju profesionalnih potreba učitelja/nastavnika, učenika i studenata u formalnome i neformalnom svakidašnjem i cjeloživotnom učenju i poučavanju.

Organizirao je više od 150 predavanja, mnogobrojne radionice, pokrenuo Ljetnu školu Ruđera Boškovića te Ljetnu školu V. gimnazije i HMD-a.

Za profesionalne potrebe učitelja, učenika i studenata utemeljio je četiri matematička časopisa: Poučak, Matka, Playmath i math.e te inicirao izdavanja knjiga u sklopu Male matematičke i Matkine biblioteke.

Napisao je stotinjak stručnih članaka, knjiga, gimnazijskih i drugih udžbenika, potaknuo prijevode i preveo nekoliko knjiga te organizirao na desetke radionica za nastavnike i učenike.

Pridonio je razvoju sustava obrazovanja u matematičkom području kao član Vijeća za nacionalni kurikulum i član Radne skupine za izradu Nacionalnoga okvirnog kurikuluma za matematiku.

Godine 2011. prijavio je projekt V. gimnazije IPAQ Peta - afirmativna nastava i inovativno poučavanje u gimnazijama u okviru HKO koji je realiziran s timovima četiriju gimnazija - iz Vukovara, Pakraca, Knina i Metkovića - te Prirodoslovno-matematičkim fakultetom iz Zagreba, uz sudjelovanje 1200 učenika i 1000 nastavnika.

Osmislio je i organizirao projekt dvogodišnjih okupljanja učitelja i nastavnika matematike (susreti i kongresi nastavnika matematike) na kojima su izlagali hrvatski nastavnici, kao i najugledniji strani stručnjaci iz područja nastave matematike.

Utemeljio je hrvatski ogranak TTT (Teacher Teaching Technology).

Utemeljio je i više godina vodio Geometrijske radionice HMD-a.

Kao nastavnik, a posebno kao ravnatelj V. gimnazije, aktivno je uključen u zajednicu, osnažuje demokratske procese, toleranciju i solidarnost među mladim ljudima i njihovim roditeljima.

U slobodnom vremenu bavio se i suđenjem rukometnih utakmica. Prvi je hrvatski međunarodni sudac koji je licencu postigao u Lijepoj Našoj. Od 1993. do 1999. godine bio je član tzv. elitne liste sudaca IHF-a (International handball federation). Sudio je utakmice na Olimpijadi u Atlanti, na 4 svjetska prvenstva, 3 europska, 2 azijska i na mediteranskim igrama. Sudio je završnu utakmicu japanskog prvenstva, kao i tuniskog. Također je sudio 7 završnih utakmica europskih kupova, utakmice na dva svjetska kupa te prvi europski super kup. Na obilježavanju 100 godina športa u Austriji sudio je utakmicu između ženskih reprezentacija Austrije i Svijeta. Ukupno je sudio na više od 250 međunarodnih utakmica.

Odlikovan je Spomenicom Domovinskog rata 1990. - 1992., odličjem Reda hrvatskog pletera i dobitnik je Državne nagrade Ivan Filipović za godinu 2015.

$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$

Nikol Radović rođena je 1963. godine u Sisku. Diplomirala je na Matematičkom odsjeku Prirodoslovno-matematičkog fakultetu Sveučilišta u Zagrebu, na smjeru Geometrija i topologija.

Godine 1997. magistrirala je na istome odsjeku s temom Reed-Müllerovi kodovi. Radi kao viša predavačica na Katedri za matematiku i fiziku Zavoda za geomatiku Geodetskog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu.

Područje autoričina znanstvenog i stručnog interesa je primjena matematike u drugim znanostima (kemija, kristolografija, fizika, geodezija i geomagnetizam). U razdoblju od 1992. do 2000. godine surađuje unutar projekta Ministarstva znanosti Studij separacije i analize, te strukture i svojstava materijala (1992. - 1996.) br 1 - 07 071 i Separacija, struktura i sustav metalnih materijala (1997. - 2000.), br. 124003, volonterski, na matematičkoj obradi podataka. Rezultat toga je velik broj objavljenih znanstvenih i stručnih radova u domaćim i stranim časopisima, kao i sudjelovanja na znanstvenim i stručnim skupovima.

Koautorica je udžbenika iz matematike za osnovnu školu (od 5. do 8. razreda), te knjige Nacrtna geometrija: Perspektiva - Mongeov postupak - Aksonometrija.

Aktivno sudjeluje u aktivnostima Nastavne sekcije Hrvatskog matematičkog društva u organiziranju i provedbi metodičkih radionica za učenike i nastavnike na popularizaciji matematike kao i primjeni tehnolgije u nastavi matematike, te u nizu projekata, primjerice Matematika uz pomoć računala i računalnog programa Sketchpad (2007. - 2010.) u organizaciji Hrvatskog matematičkog društva i CARNET-a kao jedan od koordinatora.

Sudjeluje u projektima Geopotencijal i geodinamika Jadrana (Geo ++Adria) (od 2007.), Joint Croatian - Hungarian Geomagnetic Repeat Station Survey and Joint Geomagnetic Field Model (od 2009.), Dynamic Number) u organizaciji National Science Foundation, U.S.A. i KCP Tehnologies (od lipnja 2010.), IPAQ Peta - projekt V. gimnazije i PMF-a u Zagrebu u okviru Further development and implementation of the Croatian Qualifications Framework (od lipnja 2013. do veljače 2015.) te Matematičkim znanstvenim izazovima na Večerima matematike u organizaciji HMD-a (od lipnja 2013.).