Web Sketchpad za osnovnu i srednju školu

 

Linearno programiranje

Godine 1947. George Dantzing proučavao je različite probleme programiranja i planiranja u američkoj vojsci. Otkrio je da se mogu ti problemi matematički modelirati pomoću linearnih formi i sustava linearnih jednadžbi i/ili nejednadžbi. Uveo je pojam linearnog programiranja.

Zanimljivo je da je već 1939. godine ruski matematičar L. V. Kantorovič proučavao sličan skup problema, ali to Amerikancima nije bilo poznato. Neovisno od Rusa, Dantzing je otkrio sustavnu proceduru za rješavanje problema linearnog programiranja.

Taj je postupak poznat kao simplex metoda.

Primijenjuje se u industriji, agrikulturi, transportu, ekonomiji i inženjerstvu, te naročito u matematici.

Svemu ovome put su utrli svojim radovima na području Teorije igara Francuz Émil Borel (1921.) i Amerikanac John von Neumann (1928.).

Problem

Dr. Hi de Spat, poznati medicinski stručnjak, liječi uspješno ozebline sa svojim revolucionarnim tabletama. Proizvodi ih dvije veličine:

1. normalna sadrži 2 grana aspirina, 5 grana bikarbonata i 1 gran kodeina (1 gran je apotekarska mjera od 0.06 grama),
2. velika sadrži 1 gran aspirina, 8 grana bikarbonata i 6 grana kodeina.

Dr. de Spat otkrio je da su efekti izlječenja značajni ako se uzme najmanje 12 grana aspirina, 74 grana bikarbonata i 24 grana kodeina.

Analiza problema

Slično je za bikarbonat

te za kodein

Dakle, uvjeti terapije daju sustav nejednadžbi

Geometrijsko predočenje problema

Možemo li ovo ``vizualizirati"? Kako geometrijski možemo predočiti uvjete?

Što, primjerice, predočuje $2x+y\geq 12$? U slučaju jednakosti $2x+y=12$ vidimo da je to jednadžba pravca $y=-2x+12.$ Nacrtajmo ga!

A što predočuje nejednadžba $2x+y\geq 12$? Lako vidimo da je to ``desna/gornja" poluravnina.

Dakle, uvjet $2x+y\geq 12$ zadovoljavaju sve točke iz skicirane poluravnine, uključujući i točke pravca.

Uvjet $x\geq 0$ daje točke poluravnine desno od osi ordinata, a $y\geq 0$ sve točke iznad i na osi apscisa.

Zahtjev da je $x\geq 0$ i $y\geq 0$ daje presjek ovih poluravnina, tj. daje točke 1. kvadranta.

Uvjeti terapije, dakle, daju područje koje je presjek svih zadanih poluravnina (v.sl.).

Kako riješiti?

Naše rješenje (ako postoji!) nalazi se u omeđenom području koordinatne ravnine. Uzmimo neke točke

1. iz unutrašnjosti područja: $A(70,70), B(30,50),$,
2. s ruba područja: $C(1,10), D(18,1), E(5,\frac{49}{8}), F(0,20), G(30,0),$
3. vrhove: $H(0,12), K(2,8), L(\frac{176}{11},\frac{23}{11}), M(24,0).$

Što možete uočiti/reći za vrijednosti funkcije

u ovim točkama?

(Rješenje: $f(A)=140, f(B)=80, f(C)=11, f(D)=19, f(E)$=$\frac{89}{8}$, $f(F)=20, f(G)=30$,

$f(H)=12, f(K)=10, f(L)$=$\frac{199}{11}, f(M)=24.$)

Pomoću The Geometer's Sketchpada lako se uočava zakonitost. Uzmu se točke iz unutrašnjosti, s ruba i svi vrhovi. Odrede/izmjere im se odvojeno apscise i ordinate, te definira njihov zbroj $x+y.$ "Šetaju" se točke i tabeliraju dobiveni podatci.

Vidi da je minimalan zbroj jednak 10, ako se uzmu koordinate točke $K(2,8).$

Dakle, traženi je zbroj za $x=2$ i $y=8$ minimalan. To znači da treba uzeti 2 normalne i 8 velikih tableta.

U tom slučaju pacijent popije $2\cdot 2+8\cdot 1=12$ grana aspirina, $2\cdot 5+8\cdot 8=74$ grana bikarbonata i $2\cdot 1+8\cdot 6=50$ grana kodeina.

Sve ovo smo vrlo lako mogli (ali ne bismo "vidjeli" o čemu je riječ!) odrediti pomoću nekog numeričkog računalnog softwarea.

Pitanje:

Kako možemo interpretirati ovo rješenje $$x+y=10,$$ tj. kako bismo ga "vizualizirali"? Što je, u matematičkom smislu, $x+y=10$ i zašto je samo točka $K$ rješenje?

Što možete reći/uočiti za pravce $x+y=12, x+y=20$ i $x+y=2$?

Još jedan primjer

U slastičarnici se proizvode dvije vrste keksa: okrugli i četvrtasti. Na okruglim keksima vlasnik zarađuje 4 kn, a na četvrtastim 5 kn po kutiji. Keksi se proizvode u tri etape: miješanjem smjese, pečenjem i pakiranjem u kutije. U tablici je dano prosječno vrijeme za svaku etapu proizvodnje keksa.

Stroj za miješanje može neprekidno raditi najviše 12 sati, a onda se mora isključiti i očistiti. Pećnica može raditi najviše 30 sati, a stroj za pakiranje ne više od 15 sati.

Koja će proizvodnja dati najveću dobit?

gdje su $x:=$ broj kutija okruglih keksa, a $y:=$ broj kutija četvrtastih keksa.

Funkcija dobiti je

Grafički prikaz uvjeta je područje označeno na slici.

Najveća je dobit u vrhu $(120, 300).$

Dakle, $f((120,300))=4\cdot 120+5\cdot 300=1980$ ukazuje da će u slučaju proizvodnje 120 kutija okruglih keksa i 300 kutija četvrtastih najveća dobit biti jednaka 1980 kn.

Računalo nam uz pomoć računalnog softvera potvrđuje rješenje.

Poučak o ekstremnoj vrijednosti

Rješenje naših razmatranih problema daje sljedeći poučak.

Ako je P konveksno područje i $f(x)=ax+by$ linearna forma, onda ekstremnu (najveću ili najmanju) vrijednost linearna forma postiže u vrhovima područja P.

Zadatci

1. U nekoj radionici za izradu igračaka proizvode se vatrogasna kola i skuteri. U jednom odjelu izrađuju se plastični dijelovi, a u drugom se odjelu sastavljaju igračke.

   U svakom odjelu rade dva radnika sedam i pol sati na dan.

   Uzmimo da su u odjelu za plastiku potrebne 4 minute da se proizvedu dijelovi za vatrogasna kola, a da su u drugom odjelu potrebne 2 minute da se dijelovi sastave u igračku.

   Potrebna je jedna minuta da se proizvedu dijelovi za skuter u odjelu za plastiku i tri minute da se sastave u drugom odjelu.

   Ako proizvođač može prodati sve što proizvede, i ako je dobitak od vatrogasnih kola 20 kuna, a od skutera 10 kuna, koliko komada svake igračke treba proizvesti svaki dan da se maksimizira dnevni dobitak?

   (Rj. 180 komada svake igračke za dobitak od 5 400 kn)

2. Kakav bi bio optimalan program proizvodnje kad bi dobitak od prve igračke bio 10, a od druge 20 kuna?

   (Kakav bi bio optimalan program proizvodnje kad bi dobitak od prve igračke bio 10, a od druge 20 kuna? )

3. Iz dvije vrste hrane, $H_1$ i $H_2$, treba uz minimalne troškove sastaviti dnevni obrok koji sadrži bar 3 000 kalorija i 100 g bjelančevina.

   Znamo da 1 kg $H_1$ stoji 6 kn, a sadrži 2.000 kalorija i 50 g bjelančevina, a 1 kg $H_2$ stoji 42 kn i sadrži 4 000 kalorija i 200 g bjelančevina.

   (Rj. 2 kg prve vrste hrane, minimalni troškovi su 12 kn)

4. Neka tvornica stočne hrane proizvodi dvije vrste smjese kukuruza, zobi i pšenice prema ovoj tablici:

   

   Pretpostavimo da tvornica ostvaruje dobit od 27, odnosno 31 dolar po toni prve, odnosno druge smjese. Uzmimo da tvornica raspolaže s 1 800 tona kukuruza, 1 000 tona zobi i 600 tona pšenice.

   (Rj. svaka točka segmenta koji spaja točke $(0,\frac{1800}{7}), (2000,0)$ daje dobit od $54 000$ dolara )

5. U okviru poduzeća Nitko ne može s nama rade dvije tvornice, $T_1$ i $T_2,$ a poduzeće ima 3 skladišta $S_1, S_2$ i $S_3$.

   U $T_1$ izrađeno je 10 000 artikala nekog proizvoda, a u $T_2$ 5 000.

   Radi daljnje otpreme, cjelokupnu proizvodnju treba otpremiti, i to 4 000 komada u skladište $S_1$, 8 000 komada u $S_2$ i 3 000 komada u $S_3$.

   Cijena prijevoza dane su tablicom:

   

   Sastavite optimalni plan prijevoza. Koliki su minimalni transportni troškovi?

   (Rj. Optimalni plan transporta dan je tablicom)

   

   (Rj. Troškovi transporta iznose 65 novčanih jedinica.)

6. Kompanija Pusti me na miru sponzorira polusatnu zabavnu emisiju u kojoj nastupaju poznati komičar Haha i pjevač Huhuu. Kompanija inzistira da joj se reklame prikazuju najmanje 3 minute. TV mreža ima propis kojim ne dopušta da je vrijeme reklama veće od 12 minuta i nikako ne smije prijeći vrijeme koje je dodijeljeno komičaru. Haha je nesklon raditi više od 20 minuta u polusatnoj emisiji, pa će ostatak vremena iskoristiti Huhuu.

   Komičar Haha košta sponzora 150 eura po minuti, pjevač Huhuu 100, a reklame 50. Istraživanje pokazuje da se za svaku minutu:

   $\bullet$ komičara 4000 gledatelja uključuje u program,
   $\bullet$ pjevačevog vremena 2000 gledatelja čeka nastavak programa,
   $\bullet$ reklame 1000 gledatelja promijeni TV kanal.

   Sponzora zanima:

   $\bullet$ kada je najveći broj gledatelja,
   $\bullet$ kolika je najmanja cijena emisije?

   (Rj. $(20,3), 91.000$ gledatelja uz cijenu 3.850 eura))

7. Nađite najmanju i najveću vrijednost funkcije $f(x,y,z)=2x-y+3z-1$ na području koje je određeno nejednadžbama $x\geq 0, y\geq 0, z\geq 0,$ $5x+4y+10z-20\leq 0.$

   (Rj. minimum u točki $(0,5,0)$, maksimum u $(4,0,0)$. Analogija: pravac $\to$ ravnina, poligon $\to$ poliedar, područje je tetraedar s vrhovima $(0,0,0), (4,0,0), (0,5,0), (0,0,2)$.)

8. Nađite najmanju i najveću vrijednost funkcije $f(x,y,z)=2x-y+4z$ na području koje je određeno nejednadžbama $x\geq 0, y\geq 0, z\geq 0,$ $3x+15y+5z-15\leq 0.

   (Rj. minimum $f(0,1,0)=-1$, maksimum $f(0,0,3)=12.$)

   Nađite minimum funkcije $f(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=x_4-x_5$, ako je $x_1=1-x_4+2x_5,$ $x_2=2+2x_4-x_5,$ $x_3=3-3x_4-x_5,$ $x_i\geq 0, i=1,\dots ,5.$

   (Rj. minimum $f(\frac{28}{5},0,0,\frac{1}{5},\frac{12}{5})=-\frac{11}{5}$)

Bilješka o autorima

Životopisi

Petar Mladinić rođen je 1950. godine u Zagrebu, gdje je diplomirao matematiku na Prirodoslovno-matematičkom fakultetu.

Njegov rad ima dugotrajan učinak na poboljšanje odgojne i obrazovne prakse. Kao voditelj Nastavne sekcije Hrvatskoga matematičkog društva pridonosio je razvoju profesionalnih potreba učitelja/nastavnika, učenika i studenata u formalnome i neformalnom svakidašnjem i cjeloživotnom učenju i poučavanju.

Organizirao je više od 150 predavanja, mnogobrojne radionice, pokrenuo Ljetnu školu Ruđera Boškovića te Ljetnu školu V. gimnazije i HMD-a.

Za profesionalne potrebe učitelja, učenika i studenata utemeljio je četiri matematička časopisa: Poučak, Matka, Playmath i math.e te inicirao izdavanja knjiga u sklopu Male matematičke i Matkine biblioteke.

Napisao je stotinjak stručnih članaka, knjiga, gimnazijskih i drugih udžbenika, potaknuo prijevode i preveo nekoliko knjiga te organizirao na desetke radionica za nastavnike i učenike.

Pridonio je razvoju sustava obrazovanja u matematičkom području kao član Vijeća za nacionalni kurikulum i član Radne skupine za izradu Nacionalnoga okvirnog kurikuluma za matematiku.

Godine 2011. prijavio je projekt V. gimnazije IPAQ Peta - afirmativna nastava i inovativno poučavanje u gimnazijama u okviru HKO koji je realiziran s timovima četiriju gimnazija - iz Vukovara, Pakraca, Knina i Metkovića - te Prirodoslovno-matematičkim fakultetom iz Zagreba, uz sudjelovanje 1200 učenika i 1000 nastavnika.

Osmislio je i organizirao projekt dvogodišnjih okupljanja učitelja i nastavnika matematike (susreti i kongresi nastavnika matematike) na kojima su izlagali hrvatski nastavnici, kao i najugledniji strani stručnjaci iz područja nastave matematike.

Utemeljio je hrvatski ogranak TTT (Teacher Teaching Technology).

Utemeljio je i više godina vodio Geometrijske radionice HMD-a.

Kao nastavnik, a posebno kao ravnatelj V. gimnazije, aktivno je uključen u zajednicu, osnažuje demokratske procese, toleranciju i solidarnost među mladim ljudima i njihovim roditeljima.

U slobodnom vremenu bavio se i suđenjem rukometnih utakmica. Prvi je hrvatski međunarodni sudac koji je licencu postigao u Lijepoj Našoj. Od 1993. do 1999. godine bio je član tzv. elitne liste sudaca IHF-a (International handball federation). Sudio je utakmice na Olimpijadi u Atlanti, na 4 svjetska prvenstva, 3 europska, 2 azijska i na mediteranskim igrama. Sudio je završnu utakmicu japanskog prvenstva, kao i tuniskog. Također je sudio 7 završnih utakmica europskih kupova, utakmice na dva svjetska kupa te prvi europski super kup. Na obilježavanju 100 godina športa u Austriji sudio je utakmicu između ženskih reprezentacija Austrije i Svijeta. Ukupno je sudio na više od 250 međunarodnih utakmica.

Odlikovan je Spomenicom Domovinskog rata 1990. - 1992., odličjem Reda hrvatskog pletera i dobitnik je Državne nagrade Ivan Filipović za godinu 2015.

Nikol Radović rođena je 1963. godine u Sisku. Diplomirala je na Matematičkom odsjeku Prirodoslovno-matematičkog fakultetu Sveučilišta u Zagrebu, na smjeru Geometrija i topologija.

Godine 1997. magistrirala je na istome odsjeku s temom Reed-Müllerovi kodovi. Radi kao viša predavačica na Katedri za matematiku i fiziku Zavoda za geomatiku Geodetskog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu.

Područje autoričina znanstvenog i stručnog interesa je primjena matematike u drugim znanostima (kemija, kristolografija, fizika, geodezija i geomagnetizam). U razdoblju od 1992. do 2000. godine surađuje unutar projekta Ministarstva znanosti Studij separacije i analize, te strukture i svojstava materijala (1992. - 1996.) br 1 - 07 071 i Separacija, struktura i sustav metalnih materijala (1997. - 2000.), br. 124003, volonterski, na matematičkoj obradi podataka. Rezultat toga je velik broj objavljenih znanstvenih i stručnih radova u domaćim i stranim časopisima, kao i sudjelovanja na znanstvenim i stručnim skupovima.

Koautorica je udžbenika iz matematike za osnovnu školu (od 5. do 8. razreda), te knjige Nacrtna geometrija: Perspektiva - Mongeov postupak - Aksonometrija.

Aktivno sudjeluje u aktivnostima Nastavne sekcije Hrvatskog matematičkog društva u organiziranju i provedbi metodičkih radionica za učenike i nastavnike na popularizaciji matematike kao i primjeni tehnolgije u nastavi matematike, te u nizu projekata, primjerice Matematika uz pomoć računala i računalnog programa Sketchpad (2007. - 2010.) u organizaciji Hrvatskog matematičkog društva i CARNET-a kao jedan od koordinatora.

Sudjeluje u projektima Geopotencijal i geodinamika Jadrana (Geo ++Adria) (od 2007.), Joint Croatian - Hungarian Geomagnetic Repeat Station Survey and Joint Geomagnetic Field Model (od 2009.), Dynamic Number) u organizaciji National Science Foundation, U.S.A. i KCP Tehnologies (od lipnja 2010.), IPAQ Peta - projekt V. gimnazije i PMF-a u Zagrebu u okviru Further development and implementation of the Croatian Qualifications Framework (od lipnja 2013. do veljače 2015.) te Matematičkim znanstvenim izazovima na Večerima matematike u organizaciji HMD-a (od lipnja 2013.).