U nizu vizualizacija omogućena je uporaba WSP alata. Uporabom njihovom mogu se izravno na stranici (html datoteci) mijenjati parametri, istraživati promjene i kreirati hipoteze.
Matematičke oznake i formule napisane su pomoću Latex-a i generiraju se kad je računalo povezano s internetom.
Dobro došli u virtualni svijet matematike
Video datoteke
Ovdje smo stavili dvije video datoteke kao ilustraciju mogućnosti njihove uporabe u kreiranju ove datoteke.
Audio datoteke
Ove dvije audio datoteke sadrže dvije pjesme. Ostale audio datoteke ukazuju na neke aspekte prezentiranih datoteka nakon njih.
Riječ, dvije $\dots$
Ovo je interaktivna knjiga. Sadržaji koji će se prezentirati izabrani su kao primjeri uporabe Web Sketchpada (WSP) u osnovnoj i srednjoj školi. U ovoj ću datoteci prezentirati radove koji su kreirani pomoću Sketchpada, a pomoću WSP-a konvertirani u dinamičnu html datoteku. Raspravit ću i određene aspekte uporabe alata i pokušati ukazati kako se uporabljuju ti alati na definiranim primjerima. Na učiteljima/nastavnicima i učenicima je težište stjecanja iskustva i promišljanje kreativne uporabe ovog potpuno novog i vrhunskog softvera u cilju boljeg poučavanja i učenja matematike.
Definiranjem i istraživanjem eksplicitno ću ilustrirati kako se na primjerima mogu ostvariti neki ishodi Nacionalnog okvirnog kurikuluma (NOK-a):
$\dots$ uspostaviti i razumjeti veze i odnose među matematičkim objektima, idejama, pojmovima, prikazima i postupcima te oblikovati cjeline njihovim nadovezivanjem,
$\dots$ postavljati matematici svojstvena pitanja (Postoji li? Ako postoji, koliko? Kako ćemo ih pronaći? Zbog čega? i slična) te stvarati i istraživati na njima zasnovane matematičke
pretpostavke,
$\dots$ obrazložiti odabir matematičkih postupaka i utvrditi smislenost dobivenoga rezultata,
$\dots$ pratiti, stvarati i vrjednovati lance matematičkih argumenata različitih vrsta te primjenjivati analogiju, generalizaciju i specijalizaciju,
$\dots$ kreativno, kritički i fleksibilno misliti,
$\dots$ primijeniti koordinatnu geometriju, za prikazivanje i istraživanje svojstava geometrijskih oblika,
$\dots$ rabiti geometrijske transformacije ravnine za opisivanje pravilnosti i svojstava geometrijskih uzoraka,
$\dots$
Dakle, ovom se datotekom, osim nabrojenih zahtjeva, ilustrira i mogući razvoj osjećaja za analogiju koja učenicima omogućuje drukčije razmišljanje. Na ovaj način oni mogu otkriti i spoznati mnoge "nove" zanimljive činjenice elementarne ("školske") matematike.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
"Inteligentna" ("pametna") tehnologija utječe na učenje i poučavanje tako da neki sadržaji postaju suvišni, neki važniji, a neki mogući. Korisna je za razvoj pojmovnog razumijevanja i sposobnosti rješavanja problemskih zadataka.
U pisanju ove datoteke i istraživanju uporabe ovih primjera oslonilo sam se na mogućnosti softvera dinamične geometrije Sketchpad 5.03HR, a posebice na softver Web Sketchpad kojim se kovertiraju .gsp datoteke u .json datoteke uključene u .html datoteku. Softver Web Sketchpad kreirali su Scott Steketee i Daniel Scher američki programeri, sveučilišni profesori i metodičari.
Koncept/ideja koordinata omogućava da se geometrijskim objektima pridružuju algebarski objekti. Moguće je i obrnuto, algebarskim objektima pridružiti odgovarajuće geometrijske objekte. Ako se to ima na umu, onda se Sketchpad vrlo kreativno i efikasno može uporabiti za vizualizaciju, proučavanje i istraživanje algebre, a ne samo geometrije. Dakle, to je alat za sve sadržaje školske i velikog dijela "više" matematike. Postoje prekrasni primjeri uporabe Sketchpada u "višoj" (fakultetskoj) matematici, primjerice u vizualizaciji ploha ili kompleksnim funkcijama ili Booleovoj algebri itd.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
Ovdje su ilustrirana četiri aspekta Sketchpadovih datoteka koje su konvertirane Web Sketchpadom i ugrađene u ovu html datoteku:
gotovi materijali za rad i istraživanje (s uputama i razradom),
predlošci za samostalan rad korisnika (s uporabom alata u rješavanju konkretnih zadataka/problem),
simulatori,
poglavlje knjige koja je iskreirana uporabom Sketchpada i LaTexa.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
Svojim recenzijama i savjetima te prijedlozima i iskustvom uporabe bitno ćete mi pomoći tekst popraviti kao i uputiti koji Vas primjeri zanimaju, ako mi svoja promišljanja uputite na web stranicu www.huni.hr ili e-adresu petar.mladinic1@zg.ht.hr.
Od srca zahvaljujem svima koji mi ukažu na pogrješke (bilo koje vrste) i predlože poboljšanja ili ispravke koje ću odmah unijeti u datoteku/prijelom, a "svjetlo dana" ugledat će u sljedećem izdanju datoteke i biti objavljeni odmah na web stranici www.huni.hr .
Također se zahvaljujem kolegi Predragu Brođancu koji mi je pomogao u učenju i "otkrivanju" mogućnosti i tajni html-a. Zahvaljujemo se i svima imenovanima i neimenovanima na uporabi njihovih uradaka koji su nam poslužili u kreiranju naših.
Veliku zahvalu upućujem Scottu Steketee i Danielu Scheru koji su mi omogućili sudjelovati testiranjem posljednjih 5 - 6 godina u stvaranje (dok su stvarali/programirali WSP) i uporabu njihovog Web Sketchpada i koji su mi davali i još uvijek daju dragocjene savjete u kreiranju ove html datoteke (a i ostalih radova/datoteka).
petar.mladinic1@zg.ht.hr
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
1. Uvod
Uvodno pogledajmo nekoliko sljedećih primjera.
Igra/slagalica poznata pod nazivom Tangram vrlo lijepo oslikava mogućnosti uporabe njezine u matematičkim promišljanjima i strategijama koje djeca uporabljuju u slaganju zadanih digura.
Primjer 1.Dijelove Tangrama složite tako da dobijete likove koji se spominju na animacijskom gumbu.
Primjer 2.Ovdje se ilustrira niz primjera uporabe Sketchpada u osnovnoj školi (od 1. do 8. razreda).
Primjer 3.Ovdje se ilustrira primjer uporabe Sketchpada u rješavanju strip zadatka Tko je najjači?.
Primjer 4.U ovom se primjeru ilustrira rješenje 5 različitih problema koji se efikasno vizualiziraju. Za vizualizaciju i programiranje u prvi plan stavlja "programiranje" pomoću Sketchpadovih mogućnosti, a ne nekog od poznatih programskih jezika.
Primjer 5.U ovom se primjeru ilustrira istraživanje je li točka ili krug u nekom skupu ili nije. Za vizualizaciju i programiranje u prvi plan se stavlja "programiranje" pomoću Sketchpadovih mogućnosti, a ne nekog od poznatih programskih jezika.
Razred: 4.
Prema novom kurikulu neki se sadržaji sada nalaze u razredu različitom od dosadašnjeg.
Predlažemo da se prije uporabe ovih datoteka pregledaju sadržaji susjednih razreda te na taj način uoče sve datoteke koje se mogu rabiti u planiranom razredu (sukladno starom ili novom kurikulu).
Vjerojatnost i Buffonov eksperimentU ovom primjeru prikazan je simulator kojim se ilustrira Buffonov eksperiment bacanja igle na ravninu s usporednim pravcima.
Crtanje grafaU ovom se primjeru ilustrira crtanje grafova elementarnih funkcija. Uporabom parametara i kalkulatora mogu se mijenjati podatci i definirati različite elementarne funkcije.
Fourierov nizU ovom se primjeru ilustrira zbrajanje sinusa i kosinusa i definiranje Fourierovog slijeda.
Aritmetički i geometrijski slijed.U ovom se primjeru vizualizira aritmetički ili geometrijski slijed i zbroj prvih $n$ njihovih članova.
Geometrijski slijedU ovom se primjeru ilustrira analitika čunjosječica (kružnice, elipse, hiperbole i parabole). Mijenjanjem parametara dobivaju se grafovi krivulja. Istaknuta su dva položaja: centralni i translatirani.
Nizovi pomoću iteracijeU ovom se primjeru ilustrira definiranje niza i njegovih članova kao elemenata u tablici. Mijenjanjem početnih vrijednosti članova i mijenjanjem operacije dobivaju se novi nizovi.
Graf funkcijeU ovom se primjeru ilustrira graf funkcije. Klikom na ikonu Graf funkcije otvara se zapis funkcije f(x)= .
Klikom na zapis f(x) otvara se kalkulator kojim se može definirati konkretna funkcija s konkretnim parametrima.
Riemannov integralU ovom se primjeru ilustrira komponiranje funkcija.
Kompleksni brojeviU ovom se primjeru ilustrira crtanje grafa funkcije $f(x)=a\dot \sin (bx+c)+d$ i odrđivanje temeljnih pojmova. Na kraju se nalaze zadatci za vježbu
Komponiranje funkcijaU ovom se primjeru ilustrira pojam komponiranja funkcija. Nalazi se niz primjera.
Potenciranje kompleksnih brojevaU ovom se primjeru ilustrira potenciranje kompleksnih broje. U tom smislu se vizualizira i korjenovanje kompleksnih brojeva s prikazom rezultata korjenovanja.
Obujam tijelaU ovom se primjeru ilustrira definiranje tijela pomoću funkcija. Klikom na zapis funkcije može se promijeniti njezin zapis i, posljedično, oblik tijela. Također je islustrirana ideja da se tijelo može načiniti od "šnita" (debljih ili tanjih). To je ideja koja je u srži Arhimedove metode "ekshaustije" i u temelju je pojma integrala.>
Računanje površine pomoću integralaU ovom se primjeru ilustrira uporaba integrala u određivanju površine ispod grafa funkcije.
Izgradnja tijelaU ovom se primjeru ilustriraju tijela definirana dijelom grafa funkcije. Mijenjanjem parametara dobivaju se različita tijela. Uporabom animacije dobivaju se "oživljeni" efekti gradnje tijela. Dvoklikom miša otvara se kalkulator u kojem se mogu mijenjati zapisi funkcija i uz drukčiji izbor parametara. Uporabom Widgetsa mogu se mijenjati debljine i boje grafova.
Operacije s funkcijamaU ovom se primjeru ilustriraju operacije s trigonometrijskim (ili nekim drugim) funkcijama. Mijenjanjem parametara dobivaju se različite funkcije. Uporabom animacije dobivaju se "oživljeni" efekti naznačenih operacija. Dvoklikom miša otvara se kalkulator u kojem se mogu mijenjati zapisi funkcija i uz drukčiji izbor parametara. Uporabom Widgetsa mogu se mijenjati debljine i boje grafova.
Rotacijsko tijeloU ovom se primjeru ilustrira crtanje rotacijskog tijela koje nastaje rotiranjem grafa funkcije.
Eulerova spirala kompleksnih brojevaU ovom se primjeru prikazuju kompleksni brojevi zapisani u Eulerovom zapisu. U 3D prikazu uočava se Eulerova spirala kompleksnih brojeva. Metodom nacrtne geometrije (tlocrtom, nacrtom i bokocrtom) dobiva se 3D prikaz Eulerove spirale. Tlocrtna ravnina je realna ravnina (ravnina realnih brojeva) i u njoj se prikazuje Re(z), tj. cos ($\theta$). Nacrtna ravnina je ravnina imaginarnih brojeva i u njoj se prikazuje Im(z), tj. sin($\theta$). Bokocrtna ravnina je Gaussova ravnina i u njoj se prikazuje kompleksni broj z.
Prikaz funkcije u pravokutnom i polarnom koordinatnom sustavu. U ovom se primjeru ilustrira graf elementarne funkcije u dva koordinatna sustava, uporaba parametara i istraživanje njihovog utjecaja na graf funkcije.
Klikom na zapis funkcije otvara se kalkulator u kojem se onda može zapisati nova funkcija.
Booleova algebraOvdje je vizualizirana Booleova algebra. Pomicanjem crvenog ili plavog kruga mijenja se vrijednost i to se vidi odmah na zaslonu. Logički čipovi su programirani/kreirani/crtani uporabom svojstava Sketchpadovog dinamičnog geometrijskog okruženja.
Booleovi operatoriOvdje su vizualizirani Booleovi operatori.
3D kompleksni dinagrafVizualiziran je 3D dinagraf kompleksne funkcije.
Igra: TraxOvo je igra slaganja likova pomoću malih kvadrata.
Modeliranje02U ovom se primjeru ilustrira nekoliko primjera modeliranja i programiranja problema. Programiranje je uspješno realizirano samo uporabom geometrijskih i drugih mogućnosti Sketchpada.
Bilješka o autorima
Životopisi
Petar Mladinić rođen je 1950. godine u Zagrebu, gdje je diplomirao matematiku na Prirodoslovno-matematičkom fakultetu.
Njegov rad ima dugotrajan učinak na poboljšanje odgojne i obrazovne prakse. Kao voditelj Nastavne sekcije Hrvatskoga matematičkog društva pridonosio je razvoju profesionalnih potreba učitelja/nastavnika, učenika i studenata u formalnome i neformalnom svakidašnjem i cjeloživotnom učenju i poučavanju.
Organizirao je više od 150 predavanja, mnogobrojne radionice, pokrenuo Ljetnu školu Ruđera Boškovića te Ljetnu školu V. gimnazije i HMD-a.
Za profesionalne potrebe učitelja, učenika i studenata utemeljio je četiri matematička časopisa: Poučak, Matka, Playmath i math.e te inicirao izdavanja knjiga u sklopu Male matematičke i Matkine biblioteke.
Napisao je stotinjak stručnih članaka, knjiga, gimnazijskih i drugih udžbenika, potaknuo prijevode i preveo nekoliko knjiga te organizirao na desetke radionica za nastavnike i učenike.
Pridonio je razvoju sustava obrazovanja u matematičkom području kao član Vijeća za nacionalni kurikulum i član Radne skupine za izradu Nacionalnoga okvirnog kurikuluma za matematiku.
Godine 2011. prijavio je projekt V. gimnazije IPAQ Peta - afirmativna nastava i inovativno poučavanje u gimnazijama u okviru HKO koji je realiziran s timovima četiriju gimnazija - iz Vukovara, Pakraca, Knina i Metkovića - te Prirodoslovno-matematičkim fakultetom iz Zagreba, uz sudjelovanje 1200 učenika i 1000 nastavnika.
Osmislio je i organizirao projekt dvogodišnjih okupljanja učitelja i nastavnika matematike (susreti i kongresi nastavnika matematike) na kojima su izlagali hrvatski nastavnici, kao i najugledniji strani stručnjaci iz područja nastave matematike.
Utemeljio je hrvatski ogranak TTT (Teacher Teaching Technology).
Utemeljio je i više godina vodio Geometrijske radionice HMD-a.
Kao nastavnik, a posebno kao ravnatelj V. gimnazije, aktivno je uključen u zajednicu, osnažuje demokratske procese, toleranciju i solidarnost među mladim ljudima i njihovim roditeljima.
U slobodnom vremenu bavio se i suđenjem rukometnih utakmica. Prvi je hrvatski međunarodni sudac koji je licencu postigao u Lijepoj Našoj. Od 1993. do 1999. godine bio je član tzv. elitne liste sudaca IHF-a (International handball federation). Sudio je utakmice na Olimpijadi u Atlanti, na 4 svjetska prvenstva, 3 europska, 2 azijska i na mediteranskim igrama. Sudio je završnu utakmicu japanskog prvenstva, kao i tuniskog. Također je sudio 7 završnih utakmica europskih kupova, utakmice na dva svjetska kupa te prvi europski super kup. Na obilježavanju 100 godina športa u Austriji sudio je utakmicu između ženskih reprezentacija Austrije i Svijeta. Ukupno je sudio na više od 250 međunarodnih utakmica.
Odlikovan je Spomenicom Domovinskog rata 1990. - 1992., odličjem Reda hrvatskog pletera i dobitnik je Državne nagrade Ivan Filipović za godinu 2015.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
Nikol Radović rođena je 1963. godine u Sisku. Diplomirala je na Matematičkom odsjeku Prirodoslovno-matematičkog fakultetu Sveučilišta u Zagrebu, na smjeru Geometrija i topologija.
Godine 1997. magistrirala je na istome odsjeku s temom Reed-Müllerovi kodovi. Radi kao viša predavačica na Katedri za matematiku i fiziku Zavoda za geomatiku Geodetskog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu.
Područje autoričina znanstvenog i stručnog interesa je primjena matematike u drugim znanostima (kemija, kristolografija, fizika, geodezija i geomagnetizam).
U razdoblju od 1992. do 2000. godine surađuje unutar projekta Ministarstva znanosti Studij separacije i analize, te strukture i svojstava materijala (1992. - 1996.) br 1 - 07 071 i Separacija, struktura i sustav metalnih materijala (1997. - 2000.), br. 124003, volonterski, na matematičkoj obradi podataka. Rezultat toga je velik broj objavljenih znanstvenih i stručnih radova u domaćim i stranim časopisima, kao i sudjelovanja na znanstvenim i stručnim skupovima.
Koautorica je udžbenika iz matematike za osnovnu školu (od 5. do 8. razreda), te knjige Nacrtna geometrija: Perspektiva - Mongeov postupak - Aksonometrija.
Aktivno sudjeluje u aktivnostima Nastavne sekcije Hrvatskog matematičkog društva u organiziranju i provedbi metodičkih radionica za učenike i nastavnike na popularizaciji matematike kao i primjeni tehnolgije u nastavi matematike, te u nizu projekata, primjerice Matematika uz pomoć računala i računalnog programa Sketchpad (2007. - 2010.) u organizaciji Hrvatskog matematičkog društva i CARNET-a kao jedan od koordinatora.
Sudjeluje u projektima Geopotencijal i geodinamika Jadrana (Geo ++Adria) (od 2007.), Joint Croatian - Hungarian Geomagnetic Repeat Station Survey and Joint Geomagnetic Field Model (od 2009.), Dynamic Number) u organizaciji National Science Foundation, U.S.A. i KCP Tehnologies (od lipnja 2010.), IPAQ Peta - projekt V. gimnazije i PMF-a u Zagrebu u okviru Further development and implementation of the Croatian Qualifications Framework (od lipnja 2013. do veljače 2015.) te Matematičkim znanstvenim izazovima na Večerima matematike u organizaciji HMD-a (od lipnja 2013.).
“You may freely use Web Sketchpad in your own Web pages, provided you do so for non-commercial use only” [per kcpt.github.io].
License: Creative Commons CC-BY-NC-SA 4.0