Web Sketchpad za osnovnu i srednju školu
Funkcije
Petar Mladinić i Nikol Radović
Dobro došli u virtualni svijet matematike
Video datoteke
Ovdje smo stavili dvije video datoteke kao ilustraciju mogućnosti njihove uporabe u kreiranju ove datoteke.
Audio datoteke
Ove dvije audio datoteke sadrže dvije pjesme. Ostale audio datoteke ukazuju na neke aspekte prezentiranih datoteka nakon njih.
Riječ, dvije $\dots$
Ovo je interaktivna knjiga. Sadržaji koji će se prezentirati izabrani su kao primjeri uporabe Web Sketchpada (WSP) u osnovnoj i srednjoj školi. U ovoj ću datoteci prezentirati radove koji su kreirani pomoću Sketchpada, a pomoću WSP-a konvertirani u dinamičnu html datoteku. Raspravit ću i određene aspekte uporabe alata i pokušati ukazati kako se uporabljuju ti alati na definiranim primjerima. Na učiteljima/nastavnicima i učenicima je težište stjecanja iskustva i promišljanje kreativne uporabe ovog potpuno novog i vrhunskog softvera u cilju boljeg poučavanja i učenja matematike. Definiranjem i istraživanjem eksplicitno ću ilustrirati kako se na primjerima mogu ostvariti neki ishodi Nacionalnog okvirnog kurikuluma (NOK-a):- $\dots$ uspostaviti i razumjeti veze i odnose među matematičkim objektima, idejama, pojmovima, prikazima i postupcima te oblikovati cjeline njihovim nadovezivanjem,
- $\dots$ organizirano prikazati matematičke objekte, ideje, postupke i rješenja riječima, slikama, crtežima, maketama, dijagramima, grafovima, listama, tablicama, brojevima,
simbolima i misaono,
- $\dots$ postavljati matematici svojstvena pitanja (Postoji li? Ako postoji, koliko? Kako ćemo ih pronaći? Zbog čega? i slična) te stvarati i istraživati na njima zasnovane matematičke
pretpostavke,
- $\dots$ obrazložiti odabir matematičkih postupaka i utvrditi smislenost dobivenoga rezultata,
- $\dots$ pratiti, stvarati i vrjednovati lance matematičkih argumenata različitih vrsta te primjenjivati analogiju, generalizaciju i specijalizaciju,
- $\dots$ kreativno, kritički i fleksibilno misliti,
- $\dots$ primijeniti koordinatnu geometriju, za prikazivanje i istraživanje svojstava geometrijskih oblika,
- $\dots$ rabiti geometrijske transformacije ravnine za opisivanje pravilnosti i svojstava geometrijskih uzoraka,
- $\dots$
Dakle, ovom se datotekom, osim nabrojenih zahtjeva, ilustrira i mogući razvoj osjećaja za analogiju koja učenicima omogućuje drukčije razmišljanje. Na ovaj način oni mogu otkriti i spoznati mnoge "nove" zanimljive činjenice elementarne ("školske") matematike.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
"Inteligentna" ("pametna") tehnologija utječe na učenje i poučavanje tako da neki sadržaji postaju suvišni, neki važniji, a neki mogući. Korisna je za razvoj pojmovnog razumijevanja i sposobnosti rješavanja problemskih zadataka.
U pisanju ove datoteke i istraživanju uporabe ovih primjera oslonilo sam se na mogućnosti softvera dinamične geometrije Sketchpad 5.03HR, a posebice na softver Web Sketchpad kojim se kovertiraju .gsp datoteke u .json datoteke uključene u .html datoteku. Softver Web Sketchpad kreirali su Scott Steketee i Daniel Scher američki programeri, sveučilišni profesori i metodičari.
Koncept/ideja koordinata omogućava da se geometrijskim objektima pridružuju algebarski objekti. Moguće je i obrnuto, algebarskim objektima pridružiti odgovarajuće geometrijske objekte. Ako se to ima na umu, onda se Sketchpad vrlo kreativno i efikasno može uporabiti za vizualizaciju, proučavanje i istraživanje algebre, a ne samo geometrije. Dakle, to je alat za sve sadržaje školske i velikog dijela "više" matematike. Postoje prekrasni primjeri uporabe Sketchpada u "višoj" (fakultetskoj) matematici, primjerice u vizualizaciji ploha ili kompleksnim funkcijama ili Booleovoj algebri itd. $$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
Ovdje su ilustrirana četiri aspekta Sketchpadovih datoteka koje su konvertirane Web Sketchpadom i ugrađene u ovu html datoteku:
- gotovi materijali za rad i istraživanje (s uputama i razradom),
- predlošci za samostalan rad korisnika (s uporabom alata u rješavanju konkretnih zadataka/problem),
- simulatori,
- poglavlje knjige koja je iskreirana uporabom Sketchpada i LaTexa.
Svojim recenzijama i savjetima te prijedlozima i iskustvom uporabe bitno ćete mi pomoći tekst popraviti kao i uputiti koji Vas primjeri zanimaju, ako mi svoja promišljanja uputite na web stranicu www.huni.hr ili e-adresu petar.mladinic1@zg.ht.hr.
Od srca zahvaljujem svima koji mi ukažu na pogrješke (bilo koje vrste) i predlože poboljšanja ili ispravke koje ću odmah unijeti u datoteku/prijelom, a "svjetlo dana" ugledat će u sljedećem izdanju datoteke i biti objavljeni odmah na web stranici www.huni.hr .
Također se zahvaljujem kolegi Predragu Brođancu koji mi je pomogao u učenju i "otkrivanju" mogućnosti i tajni html-a. Zahvaljujemo se i svima imenovanima i neimenovanima na uporabi njihovih uradaka koji su nam poslužili u kreiranju naših.
Veliku zahvalu upućujem Scottu Steketee i Danielu Scheru koji su mi omogućili sudjelovati testiranjem posljednjih 5 - 6 godina u stvaranje (dok su stvarali/programirali WSP) i uporabu njihovog Web Sketchpada i koji su mi davali i još uvijek daju dragocjene savjete u kreiranju ove html datoteke (a i ostalih radova/datoteka).
petar.mladinic1@zg.ht.hr
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
1. Uvod
Uvodno pogledajmo nekoliko sljedećih primjera.
Igra/slagalica poznata pod nazivom Tangram vrlo lijepo oslikava mogućnosti uporabe njezine u matematičkim promišljanjima i strategijama koje djeca uporabljuju u slaganju zadanih digura.
Primjer 1. Dijelove Tangrama složite tako da dobijete likove koji se spominju na animacijskom gumbu.
Primjer 2. Ovdje se ilustrira niz primjera uporabe Sketchpada u osnovnoj školi (od 1. do 8. razreda).
Primjer 3. Ovdje se ilustrira primjer uporabe Sketchpada u rješavanju strip zadatka Tko je najjači?.
Primjer 4. U ovom se primjeru ilustrira rješenje 5 različitih problema koji se efikasno vizualiziraju. Za vizualizaciju i programiranje u prvi plan stavlja "programiranje" pomoću Sketchpadovih mogućnosti, a ne nekog od poznatih programskih jezika.
Primjer 5. U ovom se primjeru ilustrira istraživanje je li točka ili krug u nekom skupu ili nije. Za vizualizaciju i programiranje u prvi plan se stavlja "programiranje" pomoću Sketchpadovih mogućnosti, a ne nekog od poznatih programskih jezika.
Funkcije
Pojam funkcije U ovom je primjeru su vizualizirani temeljni pojmovi koji definiraju funkciju. Domena i kodomena/slika prikazani su u vodoravnom i okomitom položaju. Riješeni su neki zadatci.
Graf funkcije U ovom se primjeru ilustrira graf funkcije. Klikom na ikonu Graf funkcije otvara se zapis funkcije f(x)= .
Klikom na zapis f(x) otvara se kalkulator kojim se može definirati konkretna funkcija s konkretnim parametrima.
Crtanje funkcije U ovom se primjeru ilustrira crtanje funkcije uz uporabu parametara/kliznika s kojima se onda ispituju svojstva grafa funkcije.
Klikne se na $f(x)$ i izaberu se kliznici ili parametri koji će nam trebati kod definiranja funkcije.
Nakon toga se dvoklikom na $f(x)=$ na zaslonu otvori kalkulator pomoću kojega se definira zapis funkcije uporabljujući kliznike i varijablu $x$ koja se nalazi u kalkulatoru u "Values".
Crtanje grafa funkcije U ovom primjeru prikazano je crtanje grafa funkcije i istraživanje uloge njegovih koeficijenata.
Crtanje funkcije pomoću točaka U ovom primjeru prikazano je crtanje grafa funkcije pomoću točaka i istraživanje njihove uloge.
Crtanje funkcije po dijelovima U ovom primjeru prikazano je crtanje grafa funkcije po dijelovima i istraživanje takve funkcije.
Dinagraf Ovdje se ilustriraju funkcijska preslikavanja pomoću dva vodoravna brojevna pravca. Komponiranjem dviju funkcija dobiva se nova treća funkcija.
Koji uvjet mora biti zadovoljen da bi se mogla naći kompozicija?
Operacije s funkcijama U ovom se primjeru ilustriraju operacije s trigonometrijskim funkcijama. Mijenjanjem parametara dobivaju se različite funkcije. Uporabom animacije dobivaju se "oživljeni" efekti naznačenih operacija. Dvoklikom miša otvara se kalkulator u kojem se mogu mijenjati zapisi funkcija i uz drukčiji izbor parametara. Uporabom Widgetsa mogu se mijenjati debljine i boje grafova.
Komponiranje funkcija U ovom se primjeru ilustrira komponiranje funkcija.
Klikom na zapis funkcije otvara se prozor kalkulatora u kojem se može promijeniti zapis funkcije.
Trigonometrijska kružnica U ovom primjeru ilustrira se trigonometrijska kružnica, veza između pravokutnog trokuta i grafova trigonometrijskih funkcija.
"Nastajanje" trigonometrijskog grafa U ovom se primjeru ilustrira "nastajanje" grafa trigonometrijske funkcije.
Sinusoida U ovom se primjeru ilustrira crtanje grafa funkcije $f(x)=a\dot \sin (bx+c)+d$ i određivanje temeljnih pojmova. Na kraju se nalaze zadatci za vježbu
Transformacija grafa U ovom se primjeru ilustrira prijelaz sinusoide u kosinusoidu. Također je ilustriran prijelaz pravca (grafa linearne funkcije) u parabolu (graf kvadratne funkcije). Ova ideja je primijenjena i na problem kvadrature kruga, tj. ilustriran je prijelaz kruga u kvadrat s jednakom površinom.
Pomicanjem prijelaznog grafa (gumba "povuci") na zaslonu se vidi trag transformacije.
Uporabom gumice taj se trag može izbrisati tako da se točka koja se pojavi kad se uključi "gumica" zalijepi za točku "povuci".
Grafičko rješavanje jednadžbi U ovom se primjeru ilustrira grafičko rješavanje trigonometrijske jednadžbe i svake druge vrste jednadžbi.
Upiše se jednadžba tako da se definira trigonometrijska funkcija (ili neka druga funkcija nakon dvoklika na zapis funkcije) pomoću parametara a, b, c, d i e.
Dvoklikom miša na parametre otvara se kalkulator pomoću kojega se onda zapišu vrijednosti tih parametara i koji definiraju trigonometrijsku (ili neku drugu) funkciju. Nultočke te funkcije su rješenja jednadžbe $f(x) = 0$.Uključivanjem alata f(x)=0 dobiva se na zaslonu točka koja se onda "zalijepi" na graf definirane funkcije.
Uporabom gumba "Move" ta se točka pokrene prema traženoj nultočki. Pomakom te točke na drugi dio grafa (u blizinu sljedeće nultočke) i pokretanjem dobiva se vrijednost/koordinate druge nultočke.Uputa: Svaki tip jednadžbe možete rješavati na svojoj stranici - sinus na 1. stranici, kosinus na 2. i tangens na 3.
Formule pretvorbe U ovom se primjeru ilustriraju formule pretvorbe. Mijenjanjem parametara dobivaju se različite funkcije. Uporabom animacije dobivaju se "oživljeni" efekti naznačenih formula pretvorbe (zbroja u umnožak, umnoška u zboj). Dvoklikom miša otvara se kalkulator u kojem se mogu mijenjati zapisi funkcija i uz drukčiji izbor parametara. Uporabom Widgetsa mogu se mijenjati debljine i boje grafova.
Uporaba parametara i njihova uloga U ovom se primjeru ilustrira crtanje funkcije uz uporabu parametara/kliznika kojima se onda ispituju svojstva.
Harmonijsko gibanje U ovom se primjeru ilustrira, simuliranjem gibanja opruge, klatna i loptice, harmonijsko gibanje opruge i klatna te prigušeno titranje.
Prikazi i komponiranje elementarnih funkcija U ovom se primjeru ilustriraju grafovi elementarnih funkcija, uporaba parametara i istraživanje njihovog otjecaja na graf funkcije te komponiranje elementarnih funkcija.
Logaritamska funkcija U ovom se primjeru ilustrira logaritamska funkcija.
Trigonometrijska nejednadžba U ovom se primjeru ilustrira rješavanje trigonometrijske nejednadžbe zadane pomoću dviju trigonometrijskih funkcija.
Prikaz funkcije u pravokutnom i polarnom koordinatnom sustavu. U ovom se primjeru ilustrira graf elementarne funkcije u dva koordinatna sustava, uporaba parametara i istraživanje njihovog utjecaja na graf funkcije.
Klikom na zapis funkcije otvara se kalkulator u kojem se onda može zapisati nova funkcija.
Polarne koordinate i jednadžbe U ovom se primjeru ilustriraju polarni koordinatni sustav i crtanje krivulja 2. reda.
Grafovi drugih krivulja mogu se nacrtati uporabom kalkulatora i upisom u njega nakon što se klikne na zadanu funkciju.
Fourierov niz U ovom se primjeru ilustrira zbrajanje sinusa i kosinusa i definiranje Fourierovog slijeda.
Aritmetički i geometrijski slijed U ovom se primjeru vizualizira aritmetički ili geometrijski slijed i zbroj prvih $n$ njihovih članova.
Geometrijski slijed U ovom se primjeru ilustrira geometrijski slijed i zbroj prvih $n$ njihovih članova.
Nizovi pomoću iteracije U ovom se primjeru ilustrira definiranje niza i njegovih članova kao elemenata u tablici. Mijenjanjem početnih vrijednosti članova i mijenjanjem operacije dobivaju se novi nizovi.
Bilješka o autorima
Životopisi
Petar Mladinić rođen je 1950. godine u Zagrebu, gdje je diplomirao matematiku na Prirodoslovno-matematičkom fakultetu.
Njegov rad ima dugotrajan učinak na poboljšanje odgojne i obrazovne prakse. Kao voditelj Nastavne sekcije Hrvatskoga matematičkog društva pridonosio je razvoju profesionalnih potreba učitelja/nastavnika, učenika i studenata u formalnome i neformalnom svakidašnjem i cjeloživotnom učenju i poučavanju.
Organizirao je više od 150 predavanja, mnogobrojne radionice, pokrenuo Ljetnu školu Ruđera Boškovića te Ljetnu školu V. gimnazije i HMD-a.
Za profesionalne potrebe učitelja, učenika i studenata utemeljio je četiri matematička časopisa: Poučak, Matka, Playmath i math.e te inicirao izdavanja knjiga u sklopu Male matematičke i Matkine biblioteke.
Napisao je stotinjak stručnih članaka, knjiga, gimnazijskih i drugih udžbenika, potaknuo prijevode i preveo nekoliko knjiga te organizirao na desetke radionica za nastavnike i učenike.
Pridonio je razvoju sustava obrazovanja u matematičkom području kao član Vijeća za nacionalni kurikulum i član Radne skupine za izradu Nacionalnoga okvirnog kurikuluma za matematiku.
Godine 2011. prijavio je projekt V. gimnazije IPAQ Peta - afirmativna nastava i inovativno poučavanje u gimnazijama u okviru HKO koji je realiziran s timovima četiriju gimnazija - iz Vukovara, Pakraca, Knina i Metkovića - te Prirodoslovno-matematičkim fakultetom iz Zagreba, uz sudjelovanje 1200 učenika i 1000 nastavnika.
Osmislio je i organizirao projekt dvogodišnjih okupljanja učitelja i nastavnika matematike (susreti i kongresi nastavnika matematike) na kojima su izlagali hrvatski nastavnici, kao i najugledniji strani stručnjaci iz područja nastave matematike.
Utemeljio je hrvatski ogranak TTT (Teacher Teaching Technology).
Utemeljio je i više godina vodio Geometrijske radionice HMD-a.
Kao nastavnik, a posebno kao ravnatelj V. gimnazije, aktivno je uključen u zajednicu, osnažuje demokratske procese, toleranciju i solidarnost među mladim ljudima i njihovim roditeljima.
U slobodnom vremenu bavio se i suđenjem rukometnih utakmica. Prvi je hrvatski međunarodni sudac koji je licencu postigao u Lijepoj Našoj. Od 1993. do 1999. godine bio je član tzv. elitne liste sudaca IHF-a (International handball federation). Sudio je utakmice na Olimpijadi u Atlanti, na 4 svjetska prvenstva, 3 europska, 2 azijska i na mediteranskim igrama. Sudio je završnu utakmicu japanskog prvenstva, kao i tuniskog. Također je sudio 7 završnih utakmica europskih kupova, utakmice na dva svjetska kupa te prvi europski super kup. Na obilježavanju 100 godina športa u Austriji sudio je utakmicu između ženskih reprezentacija Austrije i Svijeta. Ukupno je sudio na više od 250 međunarodnih utakmica.
Odlikovan je Spomenicom Domovinskog rata 1990. - 1992., odličjem Reda hrvatskog pletera i dobitnik je Državne nagrade Ivan Filipović za godinu 2015.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
Nikol Radović rođena je 1963. godine u Sisku. Diplomirala je na Matematičkom odsjeku Prirodoslovno-matematičkog fakultetu Sveučilišta u Zagrebu, na smjeru Geometrija i topologija.
Godine 1997. magistrirala je na istome odsjeku s temom Reed-Müllerovi kodovi. Radi kao viša predavačica na Katedri za matematiku i fiziku Zavoda za geomatiku Geodetskog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu.
Područje autoričina znanstvenog i stručnog interesa je primjena matematike u drugim znanostima (kemija, kristolografija, fizika, geodezija i geomagnetizam). U razdoblju od 1992. do 2000. godine surađuje unutar projekta Ministarstva znanosti Studij separacije i analize, te strukture i svojstava materijala (1992. - 1996.) br 1 - 07 071 i Separacija, struktura i sustav metalnih materijala (1997. - 2000.), br. 124003, volonterski, na matematičkoj obradi podataka. Rezultat toga je velik broj objavljenih znanstvenih i stručnih radova u domaćim i stranim časopisima, kao i sudjelovanja na znanstvenim i stručnim skupovima.
Koautorica je udžbenika iz matematike za osnovnu školu (od 5. do 8. razreda), te knjige Nacrtna geometrija: Perspektiva - Mongeov postupak - Aksonometrija.
Aktivno sudjeluje u aktivnostima Nastavne sekcije Hrvatskog matematičkog društva u organiziranju i provedbi metodičkih radionica za učenike i nastavnike na popularizaciji matematike kao i primjeni tehnolgije u nastavi matematike, te u nizu projekata, primjerice Matematika uz pomoć računala i računalnog programa Sketchpad (2007. - 2010.) u organizaciji Hrvatskog matematičkog društva i CARNET-a kao jedan od koordinatora.
Sudjeluje u projektima Geopotencijal i geodinamika Jadrana (Geo ++Adria) (od 2007.), Joint Croatian - Hungarian Geomagnetic Repeat Station Survey and Joint Geomagnetic Field Model (od 2009.), Dynamic Number) u organizaciji National Science Foundation, U.S.A. i KCP Tehnologies (od lipnja 2010.), IPAQ Peta - projekt V. gimnazije i PMF-a u Zagrebu u okviru Further development and implementation of the Croatian Qualifications Framework (od lipnja 2013. do veljače 2015.) te Matematičkim znanstvenim izazovima na Večerima matematike u organizaciji HMD-a (od lipnja 2013.).
[per kcpt.github.io]. License: Creative Commons CC-BY-NC-SA 4.0