Web Sketchpad za osnovnu i srednju školu

 

               Elementarne kompleksne funkcije

                                           Petar Mladinić i Nikol Radović

U nizu vizualizacija omogućena je uporaba WSP alata. Uporabom njihovom mogu se izravno na stranici (html datoteci) mijenjati parametri, istraživati promjene i kreirati hipoteze.

Matematičke oznake i formule napisane su pomoću Latex-a i generiraju se kad je računalo povezano s internetom.

Dobro došli u virtualni svijet matematike

Video datoteke

Ovdje smo stavili dvije video datoteke kao ilustraciju mogućnosti njihove uporabe u kreiranju ove datoteke.

Audio datoteke

Ove dvije audio datoteke sadrže dvije pjesme. Ostale audio datoteke ukazuju na neke aspekte prezentiranih datoteka nakon njih.

       Riječ, dvije $\dots$

Ovo je interaktivna knjiga. Sadržaji koji će se prezentirati izabrani su kao primjeri uporabe Web Sketchpada (WSP) u osnovnoj i srednjoj školi. U ovoj ću datoteci prezentirati radove koji su kreirani pomoću Sketchpada, a pomoću WSP-a konvertirani u dinamičnu html datoteku. Raspravit ću i određene aspekte uporabe alata i pokušati ukazati kako se uporabljuju ti alati na definiranim primjerima. Na učiteljima/nastavnicima i učenicima je težište stjecanja iskustva i promišljanje kreativne uporabe ovog potpuno novog i vrhunskog softvera u cilju boljeg poučavanja i učenja matematike. Definiranjem i istraživanjem eksplicitno ću ilustrirati kako se na primjerima mogu ostvariti neki ishodi Nacionalnog okvirnog kurikuluma (NOK-a):

• $\dots$ uspostaviti i razumjeti veze i odnose među matematičkim objektima, idejama, pojmovima, prikazima i postupcima te oblikovati cjeline njihovim nadovezivanjem,
  
  
• $\dots$ organizirano prikazati matematičke objekte, ideje, postupke i rješenja riječima, slikama, crtežima, maketama, dijagramima, grafovima, listama, tablicama, brojevima, simbolima i misaono,
  
• $\dots$ postavljati matematici svojstvena pitanja (Postoji li? Ako postoji, koliko? Kako ćemo ih pronaći? Zbog čega? i slična) te stvarati i istraživati na njima zasnovane matematičke pretpostavke,
  
• $\dots$ obrazložiti odabir matematičkih postupaka i utvrditi smislenost dobivenoga rezultata,
  
• $\dots$ pratiti, stvarati i vrjednovati lance matematičkih argumenata različitih vrsta te primjenjivati analogiju, generalizaciju i specijalizaciju,
  
• $\dots$ kreativno, kritički i fleksibilno misliti,
  
• $\dots$ primijeniti koordinatnu geometriju, za prikazivanje i istraživanje svojstava geometrijskih oblika,
  
• $\dots$ rabiti geometrijske transformacije ravnine za opisivanje pravilnosti i svojstava geometrijskih uzoraka,
  
• $\dots$
  

Dakle, ovom se datotekom, osim nabrojenih zahtjeva, ilustrira i mogući razvoj osjećaja za analogiju koja učenicima omogućuje drukčije razmišljanje. Na ovaj način oni mogu otkriti i spoznati mnoge "nove" zanimljive činjenice elementarne ("školske") matematike.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
"Inteligentna" ("pametna") tehnologija utječe na učenje i poučavanje tako da neki sadržaji postaju suvišni, neki važniji, a neki mogući. Korisna je za razvoj pojmovnog razumijevanja i sposobnosti rješavanja problemskih zadataka.

U pisanju ove datoteke i istraživanju uporabe ovih primjera oslonilo sam se na mogućnosti softvera dinamične geometrije Sketchpad 5.03HR, a posebice na softver Web Sketchpad kojim se kovertiraju .gsp datoteke u .json datoteke uključene u .html datoteku. Softver Web Sketchpad kreirali su Scott Steketee i Daniel Scher američki programeri, sveučilišni profesori i metodičari.
Koncept/ideja koordinata omogućava da se geometrijskim objektima pridružuju algebarski objekti. Moguće je i obrnuto, algebarskim objektima pridružiti odgovarajuće geometrijske objekte. Ako se to ima na umu, onda se Sketchpad vrlo kreativno i efikasno može uporabiti za vizualizaciju, proučavanje i istraživanje algebre, a ne samo geometrije. Dakle, to je alat za sve sadržaje školske i velikog dijela "više" matematike. Postoje prekrasni primjeri uporabe Sketchpada u "višoj" (fakultetskoj) matematici, primjerice u vizualizaciji ploha ili kompleksnim funkcijama ili Booleovoj algebri itd.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
Ovdje su ilustrirana četiri aspekta Sketchpadovih datoteka koje su konvertirane Web Sketchpadom i ugrađene u ovu html datoteku:

• gotovi materijali za rad i istraživanje (s uputama i razradom),
  
• predlošci za samostalan rad korisnika (s uporabom alata u rješavanju konkretnih zadataka/problem),
  
• simulatori,
  
• poglavlje knjige koja je iskreirana uporabom Sketchpada i LaTexa.
  

$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
Svojim recenzijama i savjetima te prijedlozima i iskustvom uporabe bitno ćete mi pomoći tekst popraviti kao i uputiti koji Vas primjeri zanimaju, ako mi svoja promišljanja uputite na web stranicu www.huni.hr ili e-adresu petar.mladinic1@zg.ht.hr.

Od srca zahvaljujem svima koji mi ukažu na pogrješke (bilo koje vrste) i predlože poboljšanja ili ispravke koje ću odmah unijeti u datoteku/prijelom, a "svjetlo dana" ugledat će u sljedećem izdanju datoteke i biti objavljeni odmah na web stranici www.huni.hr .

Također se zahvaljujem kolegi Predragu Brođancu koji mi je pomogao u učenju i "otkrivanju" mogućnosti i tajni html-a. Zahvaljujemo se i svima imenovanima i neimenovanima na uporabi njihovih uradaka koji su nam poslužili u kreiranju naših.

Veliku zahvalu upućujem Scottu Steketee i Danielu Scheru koji su mi omogućili sudjelovati testiranjem posljednjih 5 - 6 godina u stvaranje (dok su stvarali/programirali WSP) i uporabu njihovog Web Sketchpada i koji su mi davali i još uvijek daju dragocjene savjete u kreiranju ove html datoteke (a i ostalih radova/datoteka).
       petar.mladinic1@zg.ht.hr
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$

1. Uvod

Uvodno pogledajmo nekoliko sljedećih primjera.

Igra/slagalica poznata pod nazivom Tangram vrlo lijepo oslikava mogućnosti uporabe njezine u matematičkim promišljanjima i strategijama koje djeca uporabljuju u slaganju zadanih digura.

Primjer 1. Dijelove Tangrama složite tako da dobijete likove koji se spominju na animacijskom gumbu.

Primjer 2. Ovdje se ilustrira niz primjera uporabe Sketchpada u osnovnoj školi (od 1. do 8. razreda).

Primjer 3. Ovdje se ilustrira primjer uporabe Sketchpada u rješavanju strip zadatka Tko je najjači?.

Primjer 4. U ovom se primjeru ilustrira rješenje 5 različitih problema koji se efikasno vizualiziraju. Za vizualizaciju i programiranje u prvi plan stavlja "programiranje" pomoću Sketchpadovih mogućnosti, a ne nekog od poznatih programskih jezika.

Primjer 5. U ovom se primjeru ilustrira istraživanje je li točka ili krug u nekom skupu ili nije. Za vizualizaciju i programiranje u prvi plan se stavlja "programiranje" pomoću Sketchpadovih mogućnosti, a ne nekog od poznatih programskih jezika.

Elementarne kompleksne funkcije

Ovdje se nalaze datoteke u kojima se razmatra poopćenje elemenarnih funkcija realne varijable s realnim koeficijentima.

Elementarne kompleksne funkcije preslikavaju kompleksne brojeve u kompleksne brojeve. Ovo područje pripada u područje Kompleksne analize koja se uči na fakultetu.

Datoteke s elementarnim kompleksnim funkcijama razmatraju se u sklopu 4. i 5. van Hieleove razine.

Elementarne kompleksne funkcije nemaju graf kao što ga imaju realne funkcije. Zato se njihova svojstva istražuju/otkrivaju/prezentiraju na posebno odabranim skupovima točaka u Gaussovoj kompleksnoj ravnini i njihovim lokusima (slikama) dobivenima uporabom elementarnih kompleksnih funkcija.

Ove datoteke načinio sam 2012. godine i objavio ih na američkom serveru na kojem se objavljuju datoteke/radovi kreirani Sketchpadom. Zbog toga su datoteke na engleskom jeziku, ali i kao učenicima primjer engleske matematičke terminologije.

U svakoj datoteci u kojoj se prezentira elementarna kompleksna funkcija treba istražiti kako ta funkcija "djeluje" na pravac, trokut ili kružnicu, tj. postoji li neko svojstvo takvog preslikavanja između zadanog skupa točaka i njegovog lokusa (slike) koji je definiran samom tom funkcijom.

Posebice treba uočiti utjecaj kompleksnih koeficijenata.

Mijenjanjem položaja točaka koje definiraju kompleksne koeficijente (točka u Gaussovoj pravokutnoj ravnini predočuje kompleksni broj, a njezine koordinate su realni i imaginarni dio tog broja) istražuje se njihov utjecaj na peslikani skup točaka.

Na ovaj se način dobiva iskustvo moguće uporabe elementarne kompleksne funkcije i postavljaju hipoteze za njezina svojstva.

Posebice je važno usporediti uočena svojstva sa svojstvima elementarnih realnih funkcija i na taj način "otkriti" u čemu je poopćenje. Naime, skup kompleksnih brojeva C je nadskup skupa realnih brojeva R, tj. može se reći da su elementarne realne funkcije samo poseban slučaj elementarnih kompleksnih funkcija.

Zbog ovih, ali i drugih činjenica, može se reći da se učenici/studenti nalaze pred "izazovima" 4. i 5. razine van Hieleovog modela znanja o funkcijama.

Linearna kompleksna funkcija $f(z)=a\cdot z + b$ U ovoj je datoteci vizualizirana linearna kompleksna funkcija. Razmatra se preslikavanje pravca, trokuta i kružnice pomoću linearne kompleksne funkcije.

Mijenjanjem položaja točaka mijenjaju se i podatci te lokusi (slike) zadanih skupova točaka (pravca, trokuta, kružnice).

Pridruživanjem/preslikavanjem točaka $z \mapsto f(z)$ definirano je preslikavanje linearne kompleksne funkcije.

Möbiusova funkcija $f(z)=\frac{a\cdot z + b}{c\cdot z + d}$ U ovoj je datoteci vizualizirana Möbiusova funkcija. Razmatra se preslikavanje pravca, trokuta i kružnice

Mijenjanjem položaja točaka mijenjaju se i podatci te lokusi (slike) zadanih skupova točaka (pravca, trokuta, kružnice).

Pridruživanjem/preslikavanjem točaka $z \mapsto f(z)$ definirano je preslikavanje/Möbiusova funkcija.

Funkcija $f(z)=\displaystyle\frac{1}{z}$ U ovoj je datoteci vizualizirana kompleksna funkcija. Razmatra se preslikavanje pravca, trokuta i kružnice pomoću linearne kompleksne funkcije kao i jedan pokušaj preslikavanja hrvatskog grba.

Mijenjanjem položaja točaka mijenjaju se i podatci te lokusi (slike) zadanih skupova točaka (pravca, trokuta, kružnice).

Pridruživanjem/preslikavanjem točaka $z \mapsto f(z)$ definirano je preslikavanje/kompleksna funkcija.

Kvadratna funkcija $f(z)=az^2+bz+c$ U ovoj je datoteci vizualizirana eksponencijalna kompleksna funkcija. Razmatra se preslikavanje pravca, trokuta i kružnice pomoću eksponencijalne kompleksne funkcije.

Mijenjanjem položaja točaka mijenjaju se i podatci te lokusi (slike) zadanih skupova točaka (pravca, trokuta, kružnice).

Pridruživanjem/preslikavanjem točaka $z \mapsto f(z)$ definirano je preslikavanje/eksponencijalna kompleksna funkcija.

Eksponencijalna funkcija $f(z)= e^z$ U ovoj je datoteci vizualizirana kvadratna kompleksna funkcija. Razmatra se preslikavanje pravca, trokuta i kružnice pomoću kvadratne kompleksne funkcije.

Mijenjanjem položaja točaka mijenjaju se i podatci te lokusi zadanih skupova točaka (pravca, trokuta, kružnice).

Pridruživanjem/preslikavanjem točaka $z \mapsto f(z)$ definirano je preslikavanje/eksponencijalna kompleksna funkcija.

Logaritamska funkcija $f(z)= \ln(z)$ U ovoj je datoteci vizualizirana logaritamska kompleksna funkcija. Razmatra se preslikavanje pravca, trokuta i kružnice pomoću logaritamske kompleksne funkcije.

Mijenjanjem položaja točaka mijenjaju se i podatci te lokusi zadanih skupova točaka (pravca, trokuta, kružnice).

Pridruživanjem/preslikavanjem točaka $z \mapsto f(z)$ definirano je preslikavanje/logaritamska kompleksna funkcija.

Kompleksna potencija $f(z)= z^a$ U ovoj je datoteci vizualizirana funkcija kompleksna potencija. Razmatra se preslikavanje pravca, trokuta i kružnice pomoću kompleksne potencije.

Mijenjanjem položaja točaka mijenjaju se i podatci te lokusi zadanih skupova točaka (pravca, trokuta, kružnice).

Pridruživanjem/preslikavanjem točaka $z \mapsto f(z)$ definirano je preslikavanje/kompleksna potencija.

Funkcija $f(z)=\sin(z)$ U ovoj je datoteci vizualizirana trigonometrijska kompleksna funkcija. Razmatra se preslikavanje pravca, trokuta i kružnice pomoću kompleksne funkcije sinus.

Mijenjanjem položaja točaka mijenjaju se i podatci te lokusi zadanih skupova točaka (pravca, trokuta, kružnice).

Pridruživanjem/preslikavanjem točaka $z \mapsto f(z)$ definirano je preslikavanje/kompleksni sinus.

Funkcija $f(z)=\sinh(z)$ U ovoj je datoteci vizualizirana hiperbolična trigonometrijska kompleksna funkcija. Razmatra se preslikavanje pravca, trokuta i kružnice pomoću kompleksne funkcije sinus.

Mijenjanjem položaja točaka mijenjaju se i podatci te lokusi zadanih skupova točaka (pravca, trokuta, kružnice).

Pridruživanjem/preslikavanjem točaka $z \mapsto f(z)$ definirano je preslikavanje/kompleksni sinus hiperbolni.

Bilješka o autorima

Životopisi

Petar Mladinić rođen je 1950. godine u Zagrebu, gdje je diplomirao matematiku na Prirodoslovno-matematičkom fakultetu.

Njegov rad ima dugotrajan učinak na poboljšanje odgojne i obrazovne prakse. Kao voditelj Nastavne sekcije Hrvatskoga matematičkog društva pridonosio je razvoju profesionalnih potreba učitelja/nastavnika, učenika i studenata u formalnome i neformalnom svakidašnjem i cjeloživotnom učenju i poučavanju.

Organizirao je više od 150 predavanja, mnogobrojne radionice, pokrenuo Ljetnu školu Ruđera Boškovića te Ljetnu školu V. gimnazije i HMD-a.

Za profesionalne potrebe učitelja, učenika i studenata utemeljio je četiri matematička časopisa: Poučak, Matka, Playmath i math.e te inicirao izdavanja knjiga u sklopu Male matematičke i Matkine biblioteke.

Napisao je stotinjak stručnih članaka, knjiga, gimnazijskih i drugih udžbenika, potaknuo prijevode i preveo nekoliko knjiga te organizirao na desetke radionica za nastavnike i učenike.

Pridonio je razvoju sustava obrazovanja u matematičkom području kao član Vijeća za nacionalni kurikulum i član Radne skupine za izradu Nacionalnoga okvirnog kurikuluma za matematiku.

Godine 2011. prijavio je projekt V. gimnazije IPAQ Peta - afirmativna nastava i inovativno poučavanje u gimnazijama u okviru HKO koji je realiziran s timovima četiriju gimnazija - iz Vukovara, Pakraca, Knina i Metkovića - te Prirodoslovno-matematičkim fakultetom iz Zagreba, uz sudjelovanje 1200 učenika i 1000 nastavnika.

Osmislio je i organizirao projekt dvogodišnjih okupljanja učitelja i nastavnika matematike (susreti i kongresi nastavnika matematike) na kojima su izlagali hrvatski nastavnici, kao i najugledniji strani stručnjaci iz područja nastave matematike.

Utemeljio je hrvatski ogranak TTT (Teacher Teaching Technology).

Utemeljio je i više godina vodio Geometrijske radionice HMD-a.

Kao nastavnik, a posebno kao ravnatelj V. gimnazije, aktivno je uključen u zajednicu, osnažuje demokratske procese, toleranciju i solidarnost među mladim ljudima i njihovim roditeljima.

U slobodnom vremenu bavio se i suđenjem rukometnih utakmica. Prvi je hrvatski međunarodni sudac koji je licencu postigao u Lijepoj Našoj. Od 1993. do 1999. godine bio je član tzv. elitne liste sudaca IHF-a (International handball federation). Sudio je utakmice na Olimpijadi u Atlanti, na 4 svjetska prvenstva, 3 europska, 2 azijska i na mediteranskim igrama. Sudio je završnu utakmicu japanskog prvenstva, kao i tuniskog. Također je sudio 7 završnih utakmica europskih kupova, utakmice na dva svjetska kupa te prvi europski super kup. Na obilježavanju 100 godina športa u Austriji sudio je utakmicu između ženskih reprezentacija Austrije i Svijeta. Ukupno je sudio na više od 250 međunarodnih utakmica.

Odlikovan je Spomenicom Domovinskog rata 1990. - 1992., odličjem Reda hrvatskog pletera i dobitnik je Državne nagrade Ivan Filipović za godinu 2015.

$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$

Nikol Radović rođena je 1963. godine u Sisku. Diplomirala je na Matematičkom odsjeku Prirodoslovno-matematičkog fakultetu Sveučilišta u Zagrebu, na smjeru Geometrija i topologija.

Godine 1997. magistrirala je na istome odsjeku s temom Reed-Müllerovi kodovi. Radi kao viša predavačica na Katedri za matematiku i fiziku Zavoda za geomatiku Geodetskog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu.

Područje autoričina znanstvenog i stručnog interesa je primjena matematike u drugim znanostima (kemija, kristolografija, fizika, geodezija i geomagnetizam). U razdoblju od 1992. do 2000. godine surađuje unutar projekta Ministarstva znanosti Studij separacije i analize, te strukture i svojstava materijala (1992. - 1996.) br 1 - 07 071 i Separacija, struktura i sustav metalnih materijala (1997. - 2000.), br. 124003, volonterski, na matematičkoj obradi podataka. Rezultat toga je velik broj objavljenih znanstvenih i stručnih radova u domaćim i stranim časopisima, kao i sudjelovanja na znanstvenim i stručnim skupovima.

Koautorica je udžbenika iz matematike za osnovnu školu (od 5. do 8. razreda), te knjige Nacrtna geometrija: Perspektiva - Mongeov postupak - Aksonometrija.

Aktivno sudjeluje u aktivnostima Nastavne sekcije Hrvatskog matematičkog društva u organiziranju i provedbi metodičkih radionica za učenike i nastavnike na popularizaciji matematike kao i primjeni tehnolgije u nastavi matematike, te u nizu projekata, primjerice Matematika uz pomoć računala i računalnog programa Sketchpad (2007. - 2010.) u organizaciji Hrvatskog matematičkog društva i CARNET-a kao jedan od koordinatora.

Sudjeluje u projektima Geopotencijal i geodinamika Jadrana (Geo ++Adria) (od 2007.), Joint Croatian - Hungarian Geomagnetic Repeat Station Survey and Joint Geomagnetic Field Model (od 2009.), Dynamic Number) u organizaciji National Science Foundation, U.S.A. i KCP Tehnologies (od lipnja 2010.), IPAQ Peta - projekt V. gimnazije i PMF-a u Zagrebu u okviru Further development and implementation of the Croatian Qualifications Framework (od lipnja 2013. do veljače 2015.) te Matematičkim znanstvenim izazovima na Večerima matematike u organizaciji HMD-a (od lipnja 2013.).