Web Sketchpad za osnovnu i srednju školu
Matematički otkriće
Petar Mladinić i Nikol Radović
Dobro došli u virtualni svijet matematike
Video datoteke
Ovdje smo stavili dvije video datoteke kao ilustraciju mogućnosti njihove uporabe u kreiranju ove datoteke.
Audio datoteke
Ove dvije audio datoteke sadrže dvije pjesme. Ostale audio datoteke ukazuju na neke aspekte prezentiranih datoteka nakon njih.
Riječ, dvije $\dots$
Ovo je interaktivna knjiga. Sadržaji koji će se prezentirati izabrani su kao primjeri uporabe Web Sketchpada (WSP) u osnovnoj i srednjoj školi. U ovoj ću datoteci prezentirati radove koji su kreirani pomoću Sketchpada, a pomoću WSP-a konvertirani u dinamičnu html datoteku. Raspravit ću i određene aspekte uporabe alata i pokušati ukazati kako se uporabljuju ti alati na definiranim primjerima. Na učiteljima/nastavnicima i učenicima je težište stjecanja iskustva i promišljanje kreativne uporabe ovog potpuno novog i vrhunskog softvera u cilju boljeg poučavanja i učenja matematike. Definiranjem i istraživanjem eksplicitno ću ilustrirati kako se na primjerima mogu ostvariti neki ishodi Nacionalnog okvirnog kurikuluma (NOK-a):- $\dots$ uspostaviti i razumjeti veze i odnose među matematičkim objektima, idejama, pojmovima, prikazima i postupcima te oblikovati cjeline njihovim nadovezivanjem,
- $\dots$ organizirano prikazati matematičke objekte, ideje, postupke i rješenja riječima, slikama, crtežima, maketama, dijagramima, grafovima, listama, tablicama, brojevima,
simbolima i misaono,
- $\dots$ postavljati matematici svojstvena pitanja (Postoji li? Ako postoji, koliko? Kako ćemo ih pronaći? Zbog čega? i slična) te stvarati i istraživati na njima zasnovane matematičke
pretpostavke,
- $\dots$ obrazložiti odabir matematičkih postupaka i utvrditi smislenost dobivenoga rezultata,
- $\dots$ pratiti, stvarati i vrjednovati lance matematičkih argumenata različitih vrsta te primjenjivati analogiju, generalizaciju i specijalizaciju,
- $\dots$ kreativno, kritički i fleksibilno misliti,
- $\dots$ primijeniti koordinatnu geometriju, za prikazivanje i istraživanje svojstava geometrijskih oblika,
- $\dots$ rabiti geometrijske transformacije ravnine za opisivanje pravilnosti i svojstava geometrijskih uzoraka,
- $\dots$
Dakle, ovom se datotekom, osim nabrojenih zahtjeva, ilustrira i mogući razvoj osjećaja za analogiju koja učenicima omogućuje drukčije razmišljanje. Na ovaj način oni mogu otkriti i spoznati mnoge "nove" zanimljive činjenice elementarne ("školske") matematike.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
"Inteligentna" ("pametna") tehnologija utječe na učenje i poučavanje tako da neki sadržaji postaju suvišni, neki važniji, a neki mogući. Korisna je za razvoj pojmovnog razumijevanja i sposobnosti rješavanja problemskih zadataka.
U pisanju ove datoteke i istraživanju uporabe ovih primjera oslonilo sam se na mogućnosti softvera dinamične geometrije Sketchpad 5.03HR, a posebice na softver Web Sketchpad kojim se kovertiraju .gsp datoteke u .json datoteke uključene u .html datoteku. Softver Web Sketchpad kreirali su Scott Steketee i Daniel Scher američki programeri, sveučilišni profesori i metodičari.
Koncept/ideja koordinata omogućava da se geometrijskim objektima pridružuju algebarski objekti. Moguće je i obrnuto, algebarskim objektima pridružiti odgovarajuće geometrijske objekte. Ako se to ima na umu, onda se Sketchpad vrlo kreativno i efikasno može uporabiti za vizualizaciju, proučavanje i istraživanje algebre, a ne samo geometrije. Dakle, to je alat za sve sadržaje školske i velikog dijela "više" matematike. Postoje prekrasni primjeri uporabe Sketchpada u "višoj" (fakultetskoj) matematici, primjerice u vizualizaciji ploha ili kompleksnim funkcijama ili Booleovoj algebri itd. $$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
Ovdje su ilustrirana četiri aspekta Sketchpadovih datoteka koje su konvertirane Web Sketchpadom i ugrađene u ovu html datoteku:
- gotovi materijali za rad i istraživanje (s uputama i razradom),
- predlošci za samostalan rad korisnika (s uporabom alata u rješavanju konkretnih zadataka/problem),
- simulatori,
- poglavlje knjige koja je iskreirana uporabom Sketchpada i LaTexa.
Svojim recenzijama i savjetima te prijedlozima i iskustvom uporabe bitno ćete mi pomoći tekst popraviti kao i uputiti koji Vas primjeri zanimaju, ako mi svoja promišljanja uputite na web stranicu www.huni.hr ili e-adresu petar.mladinic1@zg.ht.hr.
Od srca zahvaljujem svima koji mi ukažu na pogrješke (bilo koje vrste) i predlože poboljšanja ili ispravke koje ću odmah unijeti u datoteku/prijelom, a "svjetlo dana" ugledat će u sljedećem izdanju datoteke i biti objavljeni odmah na web stranici www.huni.hr .
Također se zahvaljujem kolegi Predragu Brođancu koji mi je pomogao u učenju i "otkrivanju" mogućnosti i tajni html-a. Zahvaljujemo se i svima imenovanima i neimenovanima na uporabi njihovih uradaka koji su nam poslužili u kreiranju naših.
Veliku zahvalu upućujem Scottu Steketee i Danielu Scheru koji su mi omogućili sudjelovati testiranjem posljednjih 5 - 6 godina u stvaranje (dok su stvarali/programirali WSP) i uporabu njihovog Web Sketchpada i koji su mi davali i još uvijek daju dragocjene savjete u kreiranju ove html datoteke (a i ostalih radova/datoteka).
petar.mladinic1@zg.ht.hr
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
1. Uvod
Uvodno pogledajmo nekoliko sljedećih primjera.
Igra/slagalica poznata pod nazivom Tangram vrlo lijepo oslikava mogućnosti uporabe njezine u matematičkim promišljanjima i strategijama koje djeca uporabljuju u slaganju zadanih digura.
Primjer 1. Dijelove Tangrama složite tako da dobijete likove koji se spominju na animacijskom gumbu.
Primjer 2. Ovdje se ilustrira niz primjera uporabe Sketchpada u osnovnoj školi (od 1. do 8. razreda).
Primjer 3. Ovdje se ilustrira primjer uporabe Sketchpada u rješavanju strip zadatka Tko je najjači?.
Primjer 4. U ovom se primjeru ilustrira rješenje 5 različitih problema koji se efikasno vizualiziraju. Za vizualizaciju i programiranje u prvi plan stavlja "programiranje" pomoću Sketchpadovih mogućnosti, a ne nekog od poznatih programskih jezika.
Primjer 5. U ovom se primjeru ilustrira istraživanje je li točka ili krug u nekom skupu ili nije. Za vizualizaciju i programiranje u prvi plan se stavlja "programiranje" pomoću Sketchpadovih mogućnosti, a ne nekog od poznatih programskih jezika.
Matematičko otkriće
Ova datoteka i primjeri su korisni učenicima u tri smisla:
Prvo, razvija osjećaj za matematiku jer se pred učenikom otkriva mogućnost za samostalan stvaralački rad.
Drugo (a to je još važnije od prvoga jer može pobuditi interese većeg broja učenika), prikladna je ne samo u matematici, nego i u drugim znanostima. Daje prve informacije o "individualnom istraživanju" i "znanstvenoj metodi".Treće, otkriva učenicima jedan važan aspekt matematike, a koji se rijetko spominje: matematička su pitanja u ovakvim primjerima i zadatcima tijesno povezana s drugim prirodnim, eksperimentalnim znanostima (u kojima promatranje - eksperiment - i analogija mogu dovesti do otkrića).
Ove datoteke predložene su za rad s učenicima osnovne škole (crtanje, mjerenje, istraživanje i uočavanje "uvjerljive" argumentacije za postavljanje hipoteze).
Od učenika srednje škole očekuju se isto takve aktivnosti, ali u skladu s uzrastom očekuju se i dokazi postavljenih/otkrivenih hipoteza. Naravno, da se to i očekuje od darovitih učenika osnovne škole. Uz skoro svaku datoteku nalazi se alat za crtanje, mjerenje i istraživanje, a uporabom Widgetsa se mogu mijenjati boje i debljine itd. Na ovom primjeru o trangencijalnom četverokutu ilustrira se sva lepeza modernog poučavanja u nastavi školske matematike.
Konkurentni pravci i konkurentne točke. U ovom se primjeru ilustriraju dva pristupa crtanja/generiranja ploha. Jedan je pomoću grafa funkcije zapisane formulom, a drugi je pomoću parametarskih jednadžbi.
Klikom na zapis funkcije otvara se kalkulator u kojem se onda može mijenjati zapis. Klikom na parametar otvara se prozor u kojem se može upisati neka druga vrijednost.
Pravilni mnogokuti i konkurentni pravci. U ovom se primjeru ilustrira pristup crtanje/generiranje ploha pomoću Eulerove spirale. Jedan je pomoću grafa funkcije zapisane Eulerovom eksponencijalnom formulom ili pomoću parametarskih jednadžbi.
Klikom na zapis funkcije otvara se kalkulator u kojem se onda može mijenjati zapis. Klikom na parametar otvara se prozor u kojem se može upisati neka druga vrijednost.
Poučak o propeleru. U ovom se primjeru ilustrira pristup crtanje/generiranje ploha pomoću zapisa funkcije i metoda nacrtne geometrije.
Klikom na zapis funkcije otvara se kalkulator u kojem se onda može mijenjati zapis. Klikom na parametar otvara se prozor u kojem se može upisati neka druga vrijednost.
Uporabom gumba za animiranje na zaslonu se pojavljuju tragovi izvodnica koje definiraju plohu.Uporabom gumice briše se trag, a uporabom Widgetsa mogu se mijenjati boje, debljine crta itd.
Plohu definiraju izvodnice koje se translatiraju.
Propeler i konkurentni pravci. U ovom se primjeru ilustrira vizaualizacija nekoliko različitih ploha pomoću animacije i traga izvodnica koje definiraju te plohe.
Uporabom gumba za animiranje na zaslonu se pojavljuju tragovi izvodnica koje definiraju plohu.
Uporabom gumice briše se trag, a uporabom Widgetsa mogu se mijenjati boje, debljine crta itd.
Plohu definiraju izvodnice koje se translatiraju.
Pitagorina konfiguracija. U ovom se primjeru ilustrira vizaualizacija nekoliko različitih valjkastih (cilindričnih) ploha pomoću animacije i traga izvodnica koje definiraju te plohe.
Uporabom gumba za animiranje na zaslonu se pojavljuju tragovi izvodnica koje definiraju plohu.
Uporabom gumice briše se trag, a uporabom Widgetsa mogu se mijenjati boje, debljine crta itd.
Plohu definiraju izvodnice koje se translatiraju.
Tangencijalni četverokut
Evo prigode jednog istraživanja, otkrivanja i dokazivanja.
Ova smo istraživanja, otkrića i dokaze uz pomoć prof. dr. sc. Borisa Pavkovića i računalnog programa Sketchpad godine godine 2000. proveli Jelena Gusić i ja.
Tekst tog našeg rada objavljen je u časopisu Poučak u broju 7. u listopadu 2001., a rad je prezentiran na Geometrijskoj radionici održanoj od 27. do 29. prosinca 2000. godine u Zagrebu.Definicija. Četverokut u koji se može upisati kružnica, tj. kojemu su stranice tangente jedne te iste kružnice, zove se tangencijalni četverokut.
Poučak. Četverokut je tangencijalan onda i samo onda, ako je zbroj duljina jednog para nasuprotnih stranica jednak zbroju duljina drugog para nasuprotnih stranica.
Na koji način učenici mogu istraživati tangencijalni četverokut? I kako mogu učenici otkriti, a zatim dokazali poučak o tangencijalnom četverokutu?
Pođimo od tangencijalnog četverokuta. Ideja je već tu.Povucimo jednu dijagonalu i u svaki od dobivenih trokuta upišimo kružnicu.
Što uočavate? Imaju li te kružnice zajedničkih točaka?Pogledajte i vidjet ćete da se dodiruju na povučenoj dijagonali.
Transformira se konstrukcija povlačenjem plavih točaka. Vidi se da u svim slučajevima kružnice se dodiruju. Naslućuje se sljedeći poučak.
Poučak 1. U dijagonalom trianguliranom tangencijalnom četverokutu kružnice upisane nastalim trokutima imaju zajedničko diralište.
Dokaz.
Istražujući dalje (mijenjajući položaj plavih točaka - njihovim povlačenjem) pojavilo se nešto neobično:
Ovo nas je zaintrigiralo. Na slici je bio nekonveksni četverokut. Može li on biti tangencijalan? Uvijek smo tangencijalni četverokut crtali tako da bude konveksan. Ima li smisla to što smo dobili? Pogledajmo kako taj četverokut izgleda.
Pravci na kojima se nalaze stranice četverokuta tangente su kružnice. Sketchpad je pokazao da je naslućivanje o odnosu duljina stranica točno (provjerite uporabom alata, mjerenjem i računanjem).
Sada treba dokazati da vrijedi naslućivanje/hipoteza:
zbrojevi duljina nasuprotnih stranica četverokuta međusobno su jednaki.
Dakle, nije neprirodno i ovakve četverokute nazvati tangencijalnim. Kako i za nekonveksne tangencijalne četverokute vrijedi tvrdnja o stalnosti zbroja duljina nasuprotnih stranica, to navedeni dokaz poučka o upisanim kružnicama vrijedi i u ovom slučaju.
Odmah se nameće i pitanje: vrijedi li i obrat ovog poučka, tj. vrijedi li sljedeći poučak?
Poučak 2. Ako se dvije kružnice, upisane u dijagonalom triangulirani četverokut, dodiruju na dijagonali četverokut je tangencijalan.
Dokaz.
Na taj smo način našli jednu novu karakterizaciju tangencijalnog četverokuta.
Upisivanje kružnica u dijagonalom triangulirani četverokut ponovili smo za netangencijalni četverokut.
Udaljenost između dirališta kružnica s dijagonalom jednaka je nenegativnom realnom broju $k$. Proučiti treba kako se broj $k$ mijenja s mijenjanjem vrste četverokuta.
Jasno je da je četverokut tangencijalan ako i samo ako je $k=0$.
Zadatak 1. Promatrajte pravokutnik i otkrijte vezu koeficijenta $k$ i duljina njegovih stranica.
Zadatak 2. Promatrajte paralelogram i otkrijte vezu koeficijenta $k$ i duljina njegovih stranica.
Postavite hipotezu!
Istraživanjem se lako uoči da i za paraleogram vrijedi da je $k=|a-b|$.
Dokaz ove tvrdnje ostavljamo za vježbu.
Isto tako za vježbu ostavljamo istaživanje i dokaz sljedeće tvrdnje/poučka.
Poučak 3. U bilo kojem četverokutu (konveksnom ili nekonveksnom) vrijedi $$2\cdot |EF|=|(a+c)-(b+d)|,$$ gdje su $a, b, c$ i $d$ redom duljine stranica, a $|EF|$ udaljenost dirališta kružnica upisanih trokutima s triangulirajućom dijagonalom.
To što smo "vidjeli" u ovom istraživanju, otkrivanju i dokazivanju da nešto vrijedi olakšalo nam je formalno matematičko dokazivanje.
Program Sketchpad nam je pomogao otkriti veze do kojih naša matematička intuicija možda ne bi došla. Najviše nam je pomogao da preskočimo tradicionalni pristup tangencijalnim četverokutima i shvatimo da mogu biti i nekonveksni ta da postavimo ovu definiciju:
Nova definicija. Četverokut je tangencijalan ako se u njega može upisati kružnica kojoj su pravci na kojima se nalaze stranice četverokuta tangente.
Zaključak. U ovoj su datoteci eksplicitno ilustrirani svi aspekti moderne nastave matematike kao i zahtjevi nekih ishoda Nacionalnog okvirnog kurikuluma (NOK-a):
- $\dots$ uspostaviti i razumjeti veze i odnose među matematičkim objektima, idejama, pojmovima, prikazima i postupcima te oblikovati cjeline njihovim nadovezivanjem,
- $\dots$ organizirano prikazati matematičke objekte, ideje, postupke i rješenja riječima, slikama, crtežima, maketama, dijagramima, grafovima, listama, tablicama, brojevima,
simbolima i misaono,
- $\dots$ postavljati matematici svojstvena pitanja (Postoji li? Ako postoji, koliko? Kako ćemo ih pronaći? Zbog čega? i slična) te stvarati i istraživati na njima zasnovane matematičke
pretpostavke,
- $\dots$ obrazložiti odabir matematičkih postupaka i utvrditi smislenost dobivenoga rezultata,
- $\dots$ pratiti, stvarati i vrjednovati lance matematičkih argumenata različitih vrsta te primjenjivati analogiju, generalizaciju i specijalizaciju,
- $\dots$ kreativno, kritički i fleksibilno misliti,
- $\dots$ primijeniti koordinatnu geometriju, za prikazivanje i istraživanje svojstava geometrijskih oblika,
- $\dots$ rabiti geometrijske transformacije ravnine za opisivanje pravilnosti i svojstava geometrijskih uzoraka,
- $\dots$
Dakle, ovom se datotekom, osim nabrojenih zahtjeva, ilustrira i mogući razvoj osjećaja za analogiju koja učenicima omogućuje drukčije razmišljanje. Na ovaj način oni mogu otkriti i spoznati mnoge "nove" zanimljive činjenice elementarne ("školske") matematike.
Bilješka o autorima
Životopisi
Petar Mladinić rođen je 1950. godine u Zagrebu, gdje je diplomirao matematiku na Prirodoslovno-matematičkom fakultetu.
Njegov rad ima dugotrajan učinak na poboljšanje odgojne i obrazovne prakse. Kao voditelj Nastavne sekcije Hrvatskoga matematičkog društva pridonosio je razvoju profesionalnih potreba učitelja/nastavnika, učenika i studenata u formalnome i neformalnom svakidašnjem i cjeloživotnom učenju i poučavanju.
Organizirao je više od 150 predavanja, mnogobrojne radionice, pokrenuo Ljetnu školu Ruđera Boškovića te Ljetnu školu V. gimnazije i HMD-a.
Za profesionalne potrebe učitelja, učenika i studenata utemeljio je četiri matematička časopisa: Poučak, Matka, Playmath i math.e te inicirao izdavanja knjiga u sklopu Male matematičke i Matkine biblioteke.
Napisao je stotinjak stručnih članaka, knjiga, gimnazijskih i drugih udžbenika, potaknuo prijevode i preveo nekoliko knjiga te organizirao na desetke radionica za nastavnike i učenike.
Pridonio je razvoju sustava obrazovanja u matematičkom području kao član Vijeća za nacionalni kurikulum i član Radne skupine za izradu Nacionalnoga okvirnog kurikuluma za matematiku.
Godine 2011. prijavio je projekt V. gimnazije IPAQ Peta - afirmativna nastava i inovativno poučavanje u gimnazijama u okviru HKO koji je realiziran s timovima četiriju gimnazija - iz Vukovara, Pakraca, Knina i Metkovića - te Prirodoslovno-matematičkim fakultetom iz Zagreba, uz sudjelovanje 1200 učenika i 1000 nastavnika.
Osmislio je i organizirao projekt dvogodišnjih okupljanja učitelja i nastavnika matematike (susreti i kongresi nastavnika matematike) na kojima su izlagali hrvatski nastavnici, kao i najugledniji strani stručnjaci iz područja nastave matematike.
Utemeljio je hrvatski ogranak TTT (Teacher Teaching Technology).
Utemeljio je i više godina vodio Geometrijske radionice HMD-a.
Kao nastavnik, a posebno kao ravnatelj V. gimnazije, aktivno je uključen u zajednicu, osnažuje demokratske procese, toleranciju i solidarnost među mladim ljudima i njihovim roditeljima.
U slobodnom vremenu bavio se i suđenjem rukometnih utakmica. Prvi je hrvatski međunarodni sudac koji je licencu postigao u Lijepoj Našoj. Od 1993. do 1999. godine bio je član tzv. elitne liste sudaca IHF-a (International handball federation). Sudio je utakmice na Olimpijadi u Atlanti, na 4 svjetska prvenstva, 3 europska, 2 azijska i na mediteranskim igrama. Sudio je završnu utakmicu japanskog prvenstva, kao i tuniskog. Također je sudio 7 završnih utakmica europskih kupova, utakmice na dva svjetska kupa te prvi europski super kup. Na obilježavanju 100 godina športa u Austriji sudio je utakmicu između ženskih reprezentacija Austrije i Svijeta. Ukupno je sudio na više od 250 međunarodnih utakmica.
Odlikovan je Spomenicom Domovinskog rata 1990. - 1992., odličjem Reda hrvatskog pletera i dobitnik je Državne nagrade Ivan Filipović za godinu 2015.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
Nikol Radović rođena je 1963. godine u Sisku. Diplomirala je na Matematičkom odsjeku Prirodoslovno-matematičkog fakultetu Sveučilišta u Zagrebu, na smjeru Geometrija i topologija.
Godine 1997. magistrirala je na istome odsjeku s temom Reed-Müllerovi kodovi. Radi kao viša predavačica na Katedri za matematiku i fiziku Zavoda za geomatiku Geodetskog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu.
Područje autoričina znanstvenog i stručnog interesa je primjena matematike u drugim znanostima (kemija, kristolografija, fizika, geodezija i geomagnetizam). U razdoblju od 1992. do 2000. godine surađuje unutar projekta Ministarstva znanosti Studij separacije i analize, te strukture i svojstava materijala (1992. - 1996.) br 1 - 07 071 i Separacija, struktura i sustav metalnih materijala (1997. - 2000.), br. 124003, volonterski, na matematičkoj obradi podataka. Rezultat toga je velik broj objavljenih znanstvenih i stručnih radova u domaćim i stranim časopisima, kao i sudjelovanja na znanstvenim i stručnim skupovima.
Koautorica je udžbenika iz matematike za osnovnu školu (od 5. do 8. razreda), te knjige Nacrtna geometrija: Perspektiva - Mongeov postupak - Aksonometrija.
Aktivno sudjeluje u aktivnostima Nastavne sekcije Hrvatskog matematičkog društva u organiziranju i provedbi metodičkih radionica za učenike i nastavnike na popularizaciji matematike kao i primjeni tehnolgije u nastavi matematike, te u nizu projekata, primjerice Matematika uz pomoć računala i računalnog programa Sketchpad (2007. - 2010.) u organizaciji Hrvatskog matematičkog društva i CARNET-a kao jedan od koordinatora.
Sudjeluje u projektima Geopotencijal i geodinamika Jadrana (Geo ++Adria) (od 2007.), Joint Croatian - Hungarian Geomagnetic Repeat Station Survey and Joint Geomagnetic Field Model (od 2009.), Dynamic Number) u organizaciji National Science Foundation, U.S.A. i KCP Tehnologies (od lipnja 2010.), IPAQ Peta - projekt V. gimnazije i PMF-a u Zagrebu u okviru Further development and implementation of the Croatian Qualifications Framework (od lipnja 2013. do veljače 2015.) te Matematičkim znanstvenim izazovima na Večerima matematike u organizaciji HMD-a (od lipnja 2013.).
[per kcpt.github.io]. License: Creative Commons CC-BY-NC-SA 4.0