7. Dinamična nacrtna geometrija

Ovo je prvi pokušaj stvaranja interaktivne knjige tj. jednog njezinog poglavlja. Sadržaj koji će se prezentirati dio je nacrtne geometrije. U taj dio nacrtne geometrije, koji je do sad obrađivan "statički", na temelju statičnih crtanja/konstruiranja uvodi se dinamičnost koja se ostvaruje uporabom WSP-a.
Ovo smo poglavlje zato i nazvali Dinamična nacrtna geometrija.
U knjizi Nacrtna geometrija autora Petra Mladinića i Nikol Radović nalazi se 7. poglavlje (s istim nazivom) koje je temelj ovog interaktivnog poglavlja.
U nizu zadataka omogućena je uporaba alata. Uporabom njihovom mogu se izravno na stranici (html datoteci) rješavati zadatci, a nakon toga usporediti s ponuđenim rješenjem.
Matematičke oznake i formule napisane su pomoću Latex-a i generiraju su se kad je računalo povezano s internetom.

       Sadržaj

•         Uvod
  
•   7.1. Dužina, pravac i ravnina
  
•   7.2. Tijela
  
•   7.3. Sjene
  
•   7.4. Plohe
  
•   7.5. Rješavanja zadataka
  
  • a) Točka
    
  • b) Dužina
    
  • c) Pravac
    
  • d) Ravnina
    
  • e) Probodište pravca i kose ravnine
    
  • f) Probodište pravca i tijela
    
  • g) Presjek dviju ravnina
    
  • h) Presjek ravnine i tijela
    
  • i) Prodor dvaju poliedara
    
  • j) Prodor poliedra i zaobljenog tijela
    
  • k) Prodor dvaju zaobljenih tijela
    
  • l) Prodor dvaju složenih tijela
    
  • m) Predlošci za crtanje ploha
    
  • n) Primjeri uporabe predložaka
    
  • o) Sjena tijela i paralelna rasvjeta
    
  • p) Sjena tijela i centralna rasvjeta
    

Uvod

U ovom se odjeljku na potpuno nov način obrađuju sadržaji nacrtne geometrije. U prethodnim odjeljcima prikazali smo klasični statični pristup, a u ovom ćemo ilustrirati dinamični.

Prava vrijednost dinamiče nacrtne geometrije bit će vidljiva na internetskom izdanju ovog odjeljka. Naime, pomoću programa WSP-a (Web Sketchpada) moguće je unutar pisanog teksta integrirati dinamične dokumente tako da su na zaslonu računala istovremeno omogućene sve dimenzije: pisana, trenutno statični prikaz i mogućnost dinamične promjene prikaza.

Prvo, sketchpadovi dokumenti (u privitku su "klasične" knjige!) koji prate klasični način obrade metoda nacrtne geometrije ipak su iskorak u poučavanju i učenju jer se u njima mogu dinamično mijenjati položaji i odnosi među objektima. Konstrukcije presjeka, konstrukcije oblih tijela primjenom lokusa u potpunosti rasterećuju učenika u velikom dijelu tehničke realizacije jer su konstrukcije same po sebi zahtjevne. Dinamično mijenjanje zadanih uvjeta omogućuje istraživanje predloženog rješenja zadatka i provjeru ispravnosti konstruirane slike.

Primjerice, presjek valjka s ravninom temelji se na ponavljanju konstrukcije probodišta pravca i ravnine. U tu svrhu nacrta/konstruira se probodište bilo koje izvodnice valjka s ravninom (nožište izvodnice je proizvoljna točka na bazi valjka što ima za posljedicu "gibanje" izvodnice na plaštu valjka). Naredbom Lokus računalo nacrta skup svih takvih ili definiranih probodišta tj. presječnu krivulju.

Dakle, u dinamičnom pristupu moraju se poznavati temeljne konstrukcije kao i u klasičnom!

 

Drugo, zbog čega je ovaj odjeljak poseban jesu priređeni dinamični dokumenti u kojima su na zaslonu računala istovremeno prikazani i Mongeov i aksonometrijski prikaz na aksonometrijskoj kocki jednog te istog objekta ili problema.

Ovakav pristup omogućuje efikasnije razvijanje prostornog zora, na kojem je još inzistirao Monge i koji je suvremena potreba, a rasterećen je dodatnog mentalnog napora. Dinamično mijenjanje položaja objekata daje odmah uvid u točnost realiziranih konstrukcija i uvjete pod kojima su te konstrukcije moguće.

U klasično tiskanoj knjizi moguće je samo uzastopnim slijedom sličica (tj. u formi stripa) ilustrirati korake konstrukcije. U sketchpadovim dokumentima se uporabom gumba Pokažite/Sakrijte (Show/Hide) korak po korak otkriva konstrukcija. Za one vještije u uporabi softvera Sketchpad na raspolaganju je i skripta u kojoj su kodirani svi koraci i koja, kad se uporabi, doslovno prikazuje kako se sve realiziralo.

 

Treće, na aksonometrijskoj kocki (v. sl. 2.) može se izravno crtati objekte pa nema potrebe da se posebno crtaju Mongeovi tlocrt, nacrt i bokocrt. Ako je, zbog točnosti, prave veličine ili nekog trećeg razloga potrebno imati Mongeov prikaz, onda se paralelogramu aksonometrijske kocke pridružuje/konstruira kvadrat kojemu je taj paralelogram afina slika. I na tom se kvadratu (ili u njegovoj ravnini!) konstruira, primjerice, kružnica čija će afina slika biti elipsa (v. sl. 3.). Naime, bilo kojoj točki kružnice nacrta se afina slika. Lokusom se kružnica preslika u svoju afinu sliku tj. elipsu!

Četvrto, prikaz projekcija tlocrta, nacrta i bokocrta, karakterističan za Mongea, rotacijom aksonometrijske kocke lako se dobiva na zaslonu računala. Na taj se način vrlo efikasno ilustriraju ravninske projekcije (tlocrt, nacrt i bokocrt) objekata prikazanih na aksonometrijskoj kocki.

Dakle, za rješavanje treba poznavati i sve elementarne euklidske konstrukcije.

Idi na početak

7.1. Dužina, pravac i ravnina

Temeljni objekti nacrtne geometrije i njihove vizualizacije prezentirani su interaktivno. Promjenom položaja objekta na jednom prikazu mijenja se i položaj na drugom.

Projekcije

Zadatak 7.1. Nacrtajte aksonometrijski i Mongeov prikaz dužine u prostoru.

Pogledajte rješenje

Zadatak 7.2. Nacrtajte aksonometrijski i Mongeov prikaz pravca u prostoru.

Pogledajte rješenje

Zadatak 7.3. Nacrtajte aksonometrijski i Mongeov prikaz ravnine u prostoru.

Pogledajte rješenje

Zadatak 7.4. Nacrtajte aksonometrijski i Mongeov prikaz sutražnice 1. skupine.

Pogledajte rješenje

Zadatak 7.5. Nacrtajte aksonometrijski i Mongeov prikaz točke u kosoj ravnini.

Pogledajte rješenje

Prikažimo i jedan metrički zadatak.

Zadatak 7.6. Odredite duljinu dužine.

U ovom se aksonometrijskom prikazu uočavaju koraci konstrukcije koju treba nacrtati na Mongeovom prikazu da bi se konstruirala prava duljina zadane dužine.

Pogledajte rješenje

Presjeci

U prethodnom smo odjeljku istovremeno i interaktivno konstruirali i aksonometrijski i Mongeov prikaz objekta. Promjenom jednog položaja i/ili veličine objekta na jednom od prikaza mijenja se veličina i/ili položaj objekta na drugom. Uočavajući te promjene stječemo uvid u dobre strane tih prikaza. U zadatku u kojem prezentiramo samo aksonometrijski prikaz, Mongeov prikaz ostavljamo čitatelju za vježbu. I aksonometrijska kocka "pomoći" će nam u zadavanju objekata tj. pomoću nje izravno ćemo rješavati zadatke.

Zadatak 7.7. Nacrtajte presjek dviju ravnina.

 

Presječnica dviju ravnina Δ i Σ je pravac. Točke presječnice sjecišta su istoimenih tragova tih ravnina.

Pogledate rješenje

Zadatak 7.8. Nacrtajte probodište pravca s općom ravninom.

 

Ovaj zadatak rješavamo u nekoliko koraka:

•  1. Pravcem položimo pomoćnu ("najjednostavniju") ravninu; primjerice, okomitu na ravninu tlocrta.
  
•  2. Crtamo/konstruiramo presječnicu dviju ravnina.
  
•  3. Točka u kojoj se sijeku presječnica i zadani pravac traženo je probodište.
  

Pogledajte rješenje

Zadatak 7.9. Nacrtajte presjek dvaju pravaca.

 

Opišite korake konstruiranja presjeka dvaju pravaca! Prikaz presjeka nalazi se ovdje.

Pogledajte rješenje

Idi na početak

7.2. Tijela

Projekcije

Prednost izravnog crtanja na aksonometrijskoj kocki je višestruka. Osim što možemo analizirati objekt i na taj ga način vizualizirati u prostoru, omogućuje nam i postupno, stvaranje prikaza dio po dio. Važna prednost uporabe dinamičnog prikaza temelji se na mogućnosti rotiranja i sagledavanja objekta iz svih smjerova, te po potrebi translatiranja, povećavanja ili smanjivanja.

Nacrtajte na slici 16. jedno od Platonovih ili Arhimedovih tijela.

 

Ovaj smo način prikaza tijela primijenjivali već u poglavlju 6.

Prikažimo stožac i osnovne korake crtanja kao ilustraciju i kao naputak kako se to može provoditi konstrukcija tj. prikaz i drugih oblih tijela.

Zadatak 7.10. Nacrtajte uspravni kružni stožac.

 

Pogledajte rješenje

Ovoj konstrukciji slična je i konstrukcija prikaza valjka (v. sl. 17. i 18.). Posebice treba istaknuti uporabu gumba (Pokažite/sakrijte) pomoću kojeg se prikazuju/sakrivaju izvodnice koje definiraju i vizualiziraju prikaz valjka. Pri vizualizaciji iskoristili smo mogućnost animacije kao i pomicanja izvodnice koja ostavlja trag (koji polako nestaje).

 

 

Zadatak 7.11. Nacrtajte meridijane i paralele sfere!

Ilustrirajmo primjerom činjenicu da dinamična nacrtna geometrija na vrlo elegantan način sadrži u sebi Eckhartov način prikazivanja.

Zadatak 7.12. Nacrtajte tijelo koje je zadano na slici (a tlocrtom i nacrtom u zadatku 6.14. u odjeljku 6.4.).

Ilustrirat ćemo uporabu aksonometrijske kocke izravnim crtanjem tijela na kocki.

 

Pogledajte rješenje

Presjeci

 

Postupak konstruiranja probodišta (kao presjek objekta i pravca) i presjek ravnine i tijela ilustrirali smo u prethodnom odjeljku 7.1., ali i u poglavlju 6. Aksonometrija u odjeljku 6.3. u zadatcima 6.9.e, 6.10.e i 6.11.
Ova konstrukcija je od velike važnosti, jer se primjenjuje u rješavanju različitih problema (presjeka, prodora, ...).

Konstruiranje presječne krivulje geometrijskog tijela ili objekta s ravninom temelji se na konstrukciji probodišta brida/izvodnice s ravninom presjeka. Konstrukcija se realizira naredbom Lokus ili spajanjem probodišta.

Na taj način crtaju se i presjeci valjka. Prikazi presjeka valjka s tri pomične ili različite ravnine (crvenom, plavom i zelenom) nalaze se na slici 21.

Konstrukcija presjeka kugle/sfere s ravninom nešto je složenija. Potrebno je konstruirati presjek ravnine i jedne glavne kružnice sfere. U pravilu, to je isti postupak.

Prikazi presjeka horizontalne (plave), kose (crvene) i vertikalne (zelene) ravnine sa sferom nalaze se na slici 22.

Prodori

Poligon ili krivulju prodora konstruirat ćemo pomoću presjeka dviju ravnina ili kao skup probodišta bridova/izvodnica jednog tijela s drugim tijelom.

Podsjetimo se dijela zadatka 6.11. Ostale neriješene podzadatke riješite primjenom postupka koji će biti opisan u ovom odjeljku.

Zadatak 7.13. Nacrtajte aksonometrijsku sliku prodorne krivulje:

      a) kugle i valjka,

      b) kugle i stošca.

Rješenje

Ovdje ćemo samo prezentirati gotove (i statične/klasične) crteže prodora naznačenih tijela.

Neka su valjak i stožac uspravni s bazom u tlocrtnoj ravnini, a središte kugle incidentno je sa svakom od osi.

   aa)   Konstruirajmo probodište proizvoljne (bilo koje) izvodnice valjka sa sferom.

   ab)   Definirajmo crtanje prodorne krivulje (tj. geometrijsko mjesto točaka ulaska i izlaska valjka iz sfere) pomoću lokusa.

Prikaz prodora je na slici 23.

   b)   Crtanje/konstruiranje prodora kugle i stošca slično je opisanom postupku.

Prikaz prodora je na slici 24.

Algoritam konstruiranja prodora bit će dan u odjeljku 7.5.

Naravno, dinamični dokument koji je nastao uporabom aksonometrijske kocke omogućava dodatno istraživanje: ima li zadatak rješenje, u kojem je slučaju prodorna krivulja jednodjelna, a kad se raspada na dva dijela (ulazni i izlazni dio). Rotiranjem aksonometrijske kocke moguće je vidjeti Mongeov tlocrt, nacrt ili bokocrt tijela i/ili njihova prodora.

Idi na početak

7.3. Sjene

Proučavanje i konstruiranje vlastitih sjena tijela kao i njihovih bačenih sjena na ravnine projekcija ili na druga tijela važan je element za razumijevanje prostornih tvorevina i za razvijanje zora.

Razlikujemo paralelnu i centralnu rasvjetu.

Paralelna rasvjeta

Rasvjetu koja baca sjenu s paralelnim zrakama u kosoj projekciji prikazali smo u zadatcima 6.12. i 6.13.

Ilustracije radi pogledajte fotografiju Sinjski alkari Davora Rostuhara iz Zagreba.

Ilustracije radi (v. sl. 26.), crtamo/konstruiramo bačenu sjenu aksonometrijske kocke na tlo (tlocrtnu ravninu, ravninu donje baze). Za konstruiranje sjene i samosjene mora biti zadan smjer zrake svjetlosti i jedna njezina aksonometrijska projekcija.

U našoj konstrukciji to je tlocrt zrake svjetlosti. Prvo probodište zrake svjetlosti vrhom kocke bačena je sjena tog vrha. Sjene vrhova definiraju rub sjene!

 

Sjene ostalih tijela obradit će se u odjeljku 7.5.

Centralna rasvjeta

Ilustracije radi (v. sl. 27.), crtamo/konstruiramo bačenu sjenu aksonometrijske kocke na tlo (tlocrtnu ravninu, ravninu donje baze). Sjenu crtamo kako bi čitatelj mogao konstrukciju usporediti s prethodnim primjerom (v. sl. 26.) te uočiti razlike. Za konstruiranje takve vrste sjene i samosjene mora biti zadan izvor (centar) zrake svjetlosti i jedna njezina aksonometrijska projekcija. U našoj konstrukciji to je tlocrt zrake svjetlosti. Prvo probodište zrake svjetlosti vrhom kocke bačena je sjena tog vrha. Sjene vrhova definiraju obris!

 

Sjene ostalih tijela obradit ćemo u odjeljku 7.5.

Idi na početak

7.4. Plohe

   U ovom odjeljku prezentirat ćemo samo slike iz sketchpadovog dokumenata Ploha.gsp Trenutna verzija WSP ne može procesuirati gsp dokument u kojem se kreiraju plohe ili drugi objekti pomoću Familije krivulja. To će se riješiti u nekoj od sljedećih inačica WSP-a.

   U sintetičkoj nacrtnoj geometriji u žarištu, na ovoj razini do sad, nije bila vizualizacija ploha. Uporabom sketchpadove naredbe u izborniku Graf | nacrtajte novu funkciju ili Alata za označavanje | Broj | Definirajte funkciju na temelju crteža može se jednostavno nacrtati graf kojim je onda generirana ploha.

Dakle, računalnom tehnologijom i uporabom softvera Sketchpad 5.03HR realizira se spoj numeričkog područja i aksonometrijskih metoda vizualizacije, što je novi pristup u vizualizaciji ploha.

Funkcije dviju varijabli

Na početku ćemo spomenuti pojmove na koje nailazimo u vizualizaciji ploha.

Dvodimenzijski Euklidski prostor je skup $\text{R}\times \text{R}=\{(x,y)\ |\ x, y\in \text{R}\}$, a uređeni par $(x,y)$ točka tog prostora.

Realna funkcija dviju varijabli je reslikavanje $f: \text{D} \rightarrow \text{R}\times \text{R}$ koje svakoj točki $(x,y)$ iz domene pridružuje realan broj $z=f(x,y)$.

Primjerice, eksplicitnom formulom $$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$$ definirana je realna funkcija dviju varijabli čija je domena $$\text{D}=\{(x,y)\in \text{R}^2\ |\ x^2+y^2\geq 0\}\equiv \text{R}^2,$$ a funkcija $f(x,y)=\ln (x+y-2)$ definirana je na području $\text{D}\subseteq \text{R}^2$ koje je određeno nejednakošću $x+y-2>0$.

Ploha

Ploha je skup svih točaka $\{(x,y,z)\ |\ x,y,z = f(x,y)\in \text{R}\}$ trodimenzijskog prostora, gdje je $f(x,y)$ neka funkcija dviju varijabli.

Rješenja zadataka i slike ovog odjeljka nalaze se u dokumentu Ploha.gsp.

Zadatak 7.14. Nacrtajte Gielisovu plohu.

Rješenje

Gielisovom formulom iz zadatka 6.11. definirajmo funkciju $$f(x,y)=k\cdot\Bigg(\Bigg|\frac{\cos(\frac{m\cdot x}{4})}{a}\Bigg|^{n_2}+\Bigg|\frac{\cos(\frac{m\cdot y}{4})}{b}\Bigg|^{n_3}\Bigg)^{-\frac{1}{n_1}}$$

i nacrtajmo točku $(x,y,z = f(x,y))$ za parametre $a=0.85, b=0.85, m=10, n_1=-2.0, n_2=5.0, n_3=5.0$. Naredbom Lokus jednostavno generiramo plohu (v. sl. 28. lijevo).

Budući da je program Sketchpad dinamičan, to omogućuje trenutnu promjenu prikaza plohe promjenom vrijednosti parametara. Za parametre $a=4, b=4, m=1.31, n_1=15, n_2=2.0, n_3=2.0$ dobiva se nova ploha (v. sl. 28. desno).

Zadatak 7.15. Nacrtajte Lameovu plohu koja je zadana funkcijom $$f(x,y)=c\cdot \left(1-\left|\frac{x}{a}\right|^m+\left|\frac{y}{b}\right|^n\right)^{\frac{1}{p}},$$ gdje su parametri $a,b,c,p\in \text{R}\setminus\{0\}$ i varijable $x,y\in \text{R}$.

Rješenje

Lameovom funkcijom možemo definirati različite plohe. Izborom parametara $a=1.69, b=1.2, m=22, n=22, p=10$ nacrtat (generirat) ćemo plohu na slici 29. (lijevo), odnosno za parametre $a=2.13, b=2.14, m=3, n=4, p=10$ plohu na slici 29. (desno).

Zadatak 7.16. Nacrtajte plohu koja je zadana s:

• a) $f(x,y)=\ln (x^2+y^2)$,
  
• b) $f(x,y)=a\cdot \sin(bx+c)\cdot\sin(dy+e)$ gdje su parametri $a,b,c,d,e\in \text{R}$.
  

Plohe drugog reda

Ploha drugog reda skup je svih točaka trodimenzijskog prostora koje zadovoljavaju jednadžbu drugog stupnja (ili reda) $$ax^2+by^2+cz^2+dxy+exy+fyz+gx+hy+iz+k=0,$$ pri čemu je barem jedan od koeficijenata $a,b,c,d,e,f\in \text{R}\setminus \{0\}.$

Zadatak 7.17. Nacrtajte sferu (kuglinu plohu).

Rješenje

Jednadžba sfere polumjera $r$ sa središtem u točki $(x_0,y_0,z_0)$ dana je s $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2$ . Ovom su formulom zadane dvije funkcije dviju varijabli: $$f_1(x,y)=z_0+\sqrt{r^2-(x-x_0)^2-(y-y_0)^2}$$ i $$f_1(x,y)=z_0-\sqrt{r^2-(x-x_0)^2-(y-y_0)^2}.$$ Aksonometrijska slika sfere prikazana je na slici 30.

Na slici 31. nacrtan je elipsoid zadan formulom $$f(x,y)=z_0\pm c\sqrt{1-\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}},$$ gdje je središte u točki $(x_0,y_0,z_0)$, a $a,b,c\in \text{R}^{+}$ duljine poluosi.

Na slici 32. nacrtan je hiperboloid, a na slici 33. dvokrilni hiperboloid.

Rotacijske plohe

Ako neka ravninska ili prostorna krivulja $m$ rotira oko stalnog pravca $o$, ona opisuje zakrivljenu plohu koja se zove rotacijska ploha, pri čemu je pravac $o$ os rotacijske plohe, a krivulja $m$ izvodnica te plohe.

Paralela rotacijske plohe je kružnica koju rotacijom opisuje neka točka krivulje $m$. Svaka ravnina u kojoj se nalazi os $o$ siječe rotacijsku plohu u krivulji koja se zove meridijan.

Pravac kao izvodnica $m$ rotacijom definira valjkastu plohu (v. sl. 34.) i stožastu plohu (v. sl. 35.).

Na slici 36. prikazan je rotacijski hiperboloid kao pravčasta ploha.

Vrste rotacijskih ploha

a) Opća rotacijska ploha

Ako je izvodnica rotacijske plohe kakvagod krivulja, onda se nastala ploha zove opća rotacijska ploha.

Na slici 37. rotacijsko je tijelo koje nastaje krivuljom zupčanika.

Parametarske jednadžbe krivulje zupčanika su: $$x=r\cos t, y=r\sin t, r=a+\frac{1}{b}\cdot\tanh (b\sin(nt)), a,b,n\in \text{R}, \tanh t=\frac{e^t-e^{-t}}{e^t+e^{-t}}.$$

b) Torus

Ako kružnica rotira oko pravca $o$, koji leži u ravnini kružnice, a ne prolazi središtem te kružnice, onda ona opisuje rotacijsku plohu koja se zove torus (v. sl. 38.).

c) Rotacijske plohe drugog reda

Rotacijska ploha drugog reda je ploha koja nastaje rotacijom parabole, primjerice, $f(x)=x^2-4$ (v. sl. 39.).

Rotacijski paraboloid definiran je formulom $f(x,y)=a\left(x^2+y^2\right)$ i fotografijom (v. sl. 40.).

Hiperbolički paraboloid definiran je s $\displaystyle f(x,y)= z_0+\sqrt{\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}}$ (v. sl. 41.). Uz parametre $a=5, b=3, x_0=-3.13, y_0=-1.54, z_0=9.23$ od ravninske fotografije dobiva se sedlasta ploha.

Reljefne plohe

Kompleksna funkcija kompleksne varijable ili kraće kompleksna funkcija je funkcija čije su domena i kodomena skup kompleksnih brojeva $\text{C}$, tj. vrijedi $$f:\text{C} \rightarrow \text{C}: z\mapsto f(z).$$

Primjerice, takve su funkcije:

• a)  kompleksna linearna funkcija $f:\text{C} \rightarrow \text{C}, f(z)=az+b, a,b\in\text{C}, a\not= 0,$
  
• b)  Möbiusova transformacija $\displaystyle f:\text{C} \rightarrow \text{C}, f(z)=\frac{az+b}{cz+d}, a,b,c,d\in\text{C}, ad-bc\not= 0,$
  
• c)  kompleksna eksponencijalna funkcija $\displaystyle f:\text{C} \rightarrow \text{C}, f(z)=e^z,$
  
• d)  kompleksni sinus $\displaystyle f:\text{C} \rightarrow \text{C}, f(z)=\sin z= \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},$
  
• e)  kompleksni sinus hiperbolički $\displaystyle f:\text{C} \rightarrow \text{C}, f(z)=\sinh z= \frac{e^{z}-e^{-z}}{2}.$
  

Poznato je da se ove funkcije ne mogu vizualizirati na način na koji smo "navikli" u realnom području (realnoj analizi). Vrijednost $f(z)$ funkcije $f$ je kompleksan broj. Svakom se kompleksnom broju može izračunati modul (apsolutna vrijednost) $|f(z)|$ koji je realan broj. Skup svih realnih vrijednosti $|f(z)|$ definira tzv. reljefnu plohu.

Aksonometrijske metode prikazivanja omogućuju nam da, inače vrlo zahtjevan zadatak vizualizacije kompleksne funkcije, vrlo lako i efikasno riješimo.

Reljefna ploha je skup svih točaka $\{(x,y,|f(z)|)\ \vdots\ x,y,|f(z)|\in\text{R}\}$ trodimenzijskog prostora, gdje je kompleksan broj $z=x+yi, x,y\in\text{R}, |f(z)|=\sqrt{x^2+y^2}$.

Riješimo sljedeći zadatak.

Zadatak 7.18. Nacrtajte reljefnu plohu kompleksne funkcije:

• a)  $f:\text{C} \rightarrow \text{C}, f(z)=z,$
  
• b)  $f(z)=z^2,$
  
• c)  $ f(z)=\sin z,$
  
• d)  $f(z)=\sinh z.$
  

Rješenje

Neka je plava horizontalna ravnina (tlocrtna ravnina) kompleksna ravnina. Svakoj njezinoj točki pripada jedan kompleksan broj. Točka kompleksne ravnine ima koordinate $(x, y)$. Točki možemo pridružiti kompleksan broj $z=x+yi$. Vrijedi i obrnuto! Realni broj $|f(z)|=\sqrt{x^2+y^2}$ je vrijednost pripadne aplikate točki $z=x+yi=(x,y).$

Zadatak 7.19. Nacrtajte reljefne plohe ostalih elementarnih kompleksnih funkcija.

Idi na početak

7.5. Rješavanje zadataka

U ovom odjeljku razmotrit ćemo sadržaj nacrtne geometrije na aksonometrijskoj kocki. Pokazat ćemo sve temeljne pojmove, konstrukcije i procedure u dva oblika:

• a)  papirnatom obliku kao radne upute/algoritme/natuknice za konstruiranje i gotove crteže tih konstrukcija,
  
• b)  elektronskom/virtualnom obliku kao dinamične sketchpadove datoteke Rješavanje zadataka 1.gsp i Rješavanje zadataka 2.gsp.
  

Na neki način to je i obilježje naslova ovog odjeljka jer to ćemo realizirati kao niz zadataka i njihovih rješenja (s koracima rješavanja zadataka ili uputama).

Temeljni naglasak posvećen je radu/učenju/poučavanju nacrtne geometrije pomoću moderne tehnologije - računala i softvera Sketchpad i konstruiranju i prikazivanju rješenja na aksonometrijskoj kocki.

"Papirnati" dio ostatak je klasičnog pristupa edukaciji i "služi" kao ispomoć (niz naredbi korak-po-korak) u stvaranju/konstruiranju dinamičnog e-rješenja/konstrukcije.

Elementi

Temeljni su objekti: točka, dužina, pravac i ravnina.

a) Točka

U 3D koordinatnom sustavu svaka točka određena je s tri koordinate $(x,y,z)$. Brojevi $x,y,z$ su apscisa, ordinata i aplikata točke. U koordinatnom prostoru ova uređena trojka određuje vrh pravokutne četverostrane prizme duljine bridova $x,y,z$ (v. sl. 46.).

 

Zadatak 7.20. Koje su koordinate točke $T$, njezina tlocrta $T '$, nacrta $T ''$ i bokocrta $T '''$?

 

Zadatak 7.21. Točka $T(T ', T '', T ''')$ zadana je u pravokutnom koordinatnom sustavu. Koliko točaka i koje od ove četiri: $T, T ', T '', T '''$ potrebno je znati da bi prikaz bio jednoznačan? Obrazložite svoj odgovor!

b) Dužina

Dužina $\overline{AB}$ spojnica je dviju točaka $A$ i $B$ i određena je njihovim projekcijama.

Zadatak 7.22. Nacrtajte dužinu $\overline{AB}$ i njezine projekcije: tlocrt $\overline{A'B'}$, nacrt $\overline{A''B''}$ i bokocrt $\overline{A'''B'''}.$

Pogledajte rješenje

Tlocrti, nacrti i bokocrti točaka $A$ i $B$ definiraju dužine $\overline{A'B'}, \overline{A''B''}$ i $\overline{A'''B'''}$ koje zovemo tlocrtom, nacrtom i bokocrtom dužine $\overline{AB}$.

 

      Sakrijte

c) Pravac

Pravac je određen s bilo koje dvije različite točke $A$ i $B$ i njihovim projekcijama.

Napomena 3.

Sketchpad i WSP imaju mogućnost dinamičnog teksta (Hot Text) tj. prijelazom ili pritiskom pokazivača preko dijelova teksta (koji su povezani s elementima slike) na slici/konstrukciji se uočava njihova povezanost. Nakon što ste kreirali natpise koji sadrže dinamični tekst, on vam omogućuje interakciju teksta i objekta (točke, dužine, pravca itd.).
Uputa:
a) osvijetlite povezani objekt tako da pritisnete i zadržite pokazivač na dinamični tekst s linkom prema objektu,
b) pritisnite povezani akcijski gumb tako da pritisnete i pustite pokazivač kad se nalazi na linku dinamičnog teksta.

Zadatak 7.23. Nacrtajte pravac $p = AB$ i njegove projekcije $p ', p ''$ i $p '''$.

Pogledajte rješenje

Točke $A$ i $B$ i njihove odgovarajuće projekcije određuju projekciju pravca $p$ i njegove odgovarajuće projekcije $p',\ p''$ i $p'''$ (v. sl. 48.).

 

      Sakrijte

Zadatak 7.24. Nacrtajte prvo, drugo i treće probodište pravca p zadanog točkama $A$ i $B$.

 

Pogledajte rješenje

Presjek pravaca $p$ i $p'$ prvo je probodište $P_1,$ pravaca $p$ i $p''$ drugo probodište $P_2,$ a pravaca $p$ i $p'''$ treće probodište $P_3.$ Na slici 49. konstruirano je prvo probodište $P_1$. Na sličan način konstruiraju se probodište $P_2$ i $P_3$.

 

      Sakrijte

Zadatak 7.25. Nacrtajte projekcije probodišta pravca s ravninama projekcije. Gdje se nalaze nacrt i bokocrt prvog probodišta? A tlocrt i bokocrt drugog? A tlocrt i nacrt trećeg?.

d) Ravnina

Presječnica ravnine i ravnine projekcije naziva se trag ravnine. Presjek neke ravnine $\Sigma$ i tlocrtne ravnine zove se prvi trag. Drugi i treći trag su presječnice ravnine redom s nacrtnom i bokocrtnom ravninom.

Zadatak 7.26. Nacrtajte tragove ravnine $\Sigma$ koja je određena s:

• a)  tri točke,
  
• b)  jednom točkom i pravcem,
  
• b)  dva pravca.
  

 

U svim slučajevima konstrukcija traga ravnine temelji se na konstruiranju probodišta dva pravca (koje te točke određuju jer tri točke određuju dva pravca, točka i pravac određuju dva pravca) s ravninom projekcije. Trag ravnine spojnica je odgovarajućih probodišta tih pravaca.

   a) Na slici 51. prikazana je konstrukcija prvog traga $s_1$ ravnine zadane s tri točke $A, B$ i $C$. Točke $A$ i $B$ određuju pravac $p$, a točke $A$ i $C$ pravac $q$ (dva ukrštena pravca). Prvo probodište pravca $p$ je točka $P_1$, a prvo probodište pravca $q$ je $Q_1$. Točke $P_1$ i $Q_1$ određuju prvi trag $s_1$ ravnine $\Sigma$ određene s točkama $A, B$ i $C$.

Drugi i treći trag ravnine konstruiraju se na sličan način.

Sad je lako riješiti podzadatke $b)$ i $c)$.

Pogledajte rješenje

 

      Sakrijte

   b) U ovom podzadatku već je zadan jedan pravac. Drugi se položi zadanom točkom tako da siječe zadani pravac. Nakon toga primijeni se rješenje/konstrukcija iz podzadatka $a)$. (Što bi bilo kad bi točkom nacrtali pravac usporedan sa zadanim pravcem? Objasnite!)

   c) U ovom podzadatku izravno se primijeni konstrukcija iz podzadatka $a)$.

Probodište

Probodište pravca i objekta je zajednička točka pravca i objekta (ravnine, plohe).

e) Probodište pravca i kose ravnine

Probodište pravca i kose ravnine konstruira se kao presjek zadanog pravca i presječnice zadane ravnine s pomoćnom ravninom. Pomoćna ravnina okomita je na ravninu projekcije (tlocrtnu, nacrtnu ili bokocrtnu ravninu) i njezin je trag u toj ravnini projekcije projekcija (tlocrt, nacrt ili bokocrt) zadanog pravca.

Zadatak 7.27. Zadana je ravnina $\Sigma (s_1, s_2)$ i pravac $p=AB$. Konstruirajte probodište pravca $p$ i ravnine $\Sigma$. Odredite koji je dio pravca iznad, a koji ispod ravnine.

 

Tlocrtom $p'$ pravca $p$ položi se pomoćna ravnina koja je okomita na tlocrtnu ravninu. Presječnica zadane ravnine $\Sigma$ i pomoćne ravnine siječe pravac $p$ u točki $M$. Točka $M$ traženo je probodište pravca $p$ i ravnine $\Sigma$.

Sad je lako odrediti koji je dio pravca iznad, a koji ispod zadane ravnine.

Pogledajte rješenje

 

      Sakrijte

f) Probodište pravca i tijela

Ako je tijelo neki poliedar, onda se probodište pravca i tijela konstruira pomoću opisanog postupka crtanja probodišta pravca i strane poliedra (dijela ravnine koja ga omeđuje).

Zadatak 7.28. Zadan je pravac $p=AB$ i njegov tlocrt $p'=A'B'.$ Konstruirajte probodište pravca i aksonometrijske kocke. Odredite dio pravca koji se nalazi unutar kocke.

 

 

Pogledajte rješenje

 

      Sakrijte

Zadatak 7.29. Zadan je pravac, njegov tlocrt i piramida. Konstruirajte probodište pravca i piramide.

Postupak rješavanja ili konstruiranja sličan je postupku u prethodnom zadatku uz napomenu da su pobočke dijelovi kose ravnine, pa treba konstruirati nacrt pobočke piramide.

 

Pogledajte rješenje

 

      Sakrijte

Zadatak 7.30. Zadan je pravac i njegov tlocrt te uspravni kružni valjak. Konstruirajte probodište pravca i valjka.

Konstrukcija je slična konstrukcijama u prethodnim slučajevima/zadatcima. Potrebno je odrediti presječne izvodnice i njihove presjeke sa zadanim pravcem. Tlocrt pravca siječe kružnicu baze u nožištima tih presječnih izvodnica.

Pogledajte rješenje

 

      Sakrijte

Zadatak 7.31. Zadan je pravac i njegov tlocrt te uspravni kružni stožac. Konstruirajte probodište pravca i stošca.

Rješenje

Probodište pravca i stošca konstruirat ćemo tako da odredimo presjek pravca i presječnice pomoćne ravnine (u kojoj leži pravac!) sa zadanim stošcem.
Presječnica pomoćne ravnine i stošca krivulja je drugog reda. Presjek pravca i te presječnice probodište je pravca i stošca.

 

U našem zadatku to su probodišta $P$ i $Q$ (v. sl. 60.).

Probodište pravca i stošca može se konstruirati i na drugi način. Opišimo ga!

 

Pogledajte rješenje

 

      Sakrijte

Zadatak 7.32. Zadan je pravac sa svojim probodištima u nasuprotnim pobočkama aksonometrijske kocke i kugla/sfera upisana aksonometrijskoj kocki. Konstruirajte probodište pravca i kugle/sfere.

Rješenje

U ovom slučaju najprije trebamo konstruirati ravninu u kojoj leži zadani pravac. (Koliko ima takvih ravnina? Zašto?)
Probodište pravca i kugle nacrtat ćemo u nekoliko koraka.

 

U našem zadatku to su probodišta $P$ i $Q$ (v. sl. 62.).

Rješenja nekih zadataka (iz poglavlja 5. i 6.) omogućuju vizualizaciju Riemannove sfere.
Riemannova sfera je 3D model skupa kompleksnih brojeva C.

Probodište pravca i ravnine omogućuje stereografsku projekciju koja vizualizira vezu između Riemannove sfere i kompleksne ravnine (koja se još naziva Gauss - Argand - Wesselova ravnina).

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826. - 1866.) njemački je matematičar,
Carl Friedrich Gauss (1777. - 1855.) njemački je matematičar,
Jean Robert Argand (1768. - 1822.) švicarski je matematičar,
Caspar Wessel (1745. - 1818.) norveški je matematičar.

Svakoj točki sfere (osim "sjevernog" pola) pridružen je jedan kompleksan broj iz kompleksne ravnine. I obrnuto!

Zadatak 7.33. Nacrtajte Riemannovu sferu. Gdje se u kompleksnoj ravnini nalaze točke jedne paralele? A gdje točke meridijana?

Rješenje

Sferu iskopirajmo iz nekog od spomenutih zadataka (iz poglavlja 5. ili 6.) i prilagodimo je našem zadatku.
Konstruirajmo polupravac definiran "sjevernim" polom i bilo kojom točkom $Z_2$ neke paralele. Konstruirajmo probodište $z_2$ tog polupravca s horizontalnom ravninom koja dodiruje sferu u "južnom" polu. Točka $Z_2$ na paraleli i probodište $z_2$ zrake s horizontalnom ravninom definiraju lokus (ili transformaciju!) koji crta sliku paralele tj. kružnicu probodišta (v. sl. 31.).
Dakle, odgovarajuće točke nalaze se na kružnici sa središtem u "južnom" polu.

Na sličan način, konstruirajmo polupravac definiran "sjevernim" polom i bilo kojom točkom $Z_1$ nekog meridijana. Konstruirajmo probodište $z_1$ tog polupravca s horizontalnom ravninom koja dodiruje sferu u "južnom" polu. Točka $Z_1$ na meridijanu i probodište $z_1$ zrake s horizontalnom ravninom definiraju lokus (ili transformaciju!) koji crta sliku meridijana tj. pravac probodišta (v. sl. 63.).
Dakle, odgovarajuće točke nalaze se na pravcu koji prolazi "južnim" polom.

Zadatak 7.34. Vizualizirajte stereografsku projekciju tj. preslikavanje sfere na ravninu.
Rješenje

Očito je da se paralele preslikavaju u koncentrične kružnice, a meridijani u skup konkurentnih pravaca (v. sl. 64. i 65.).

Složimo li ove dvije slike u jednu dobivamo stereografsku projekciju (v. sl. 66.).

Postavimo kompleksnu ravninu središtem sfere tako da je ona tlocrtna ravnina. Tlocrtna, nacrtna i bokocrtna ravnina dijele sferu na osam dijelova. Vizualizirajmo I. kvadrant ravnine i u njemu pripadni dio (I. oktant) sfere.
Na ovaj način stereografska projekcija daje nešto drukčiju vizualizaciju skupova kompleksnih brojeva (v. sl. 67.).

Ilustrirajmo paralelnu i centralnu projekciju vertikalne ravnine na horizontalnu ravninu. Nakon konstrukcije kojom se točka vertikalne ravnine preslikava na horizontalnu ravninu (konstrukcijom probodišta pravca koji definira paralelno ili centralno projiciranje) definira se transformacija kojom se uspješno preslikava fotografija (v. sl. 68. i 69.).

Pogledajmo centralnu projekciju valjkaste plohe na horizontalnu ravninu. Konstruiravši točku plašta koja se preslikava na horizontalnu ravninu (konstrukcijom probodišta pravca koji definira centralno projiciranje) definiramo transformaciju kojom se uspješno preslikavaju izvodnice (mreža izvodnica) valjka (v.sl.70.).

Veliki slikari su često primjenjivali opisano pridruživanje točaka valjkaste plohe i horizontalne ravnine. Njihove se slike mogu u potpunosti gledati pomoću cilindričnog zrcala.
Na slici 39. prikazana su dva takva rada. Jedan je mađarskog slikara Istvana Orosza (1951. - ), a drugi nepoznatog autora.

Jedan od najvećih nadreaslista (i uopće slikara) Salvatore Dali (1904. - 1989.) nacrtao je autoportret primjenom centralnog preslikavanja valjkaste plohe (v. sl. 72.).

Ilustrirajmo centralnu projekciju stožaste plohe na horizontalnu ravninu. Konstruiravši točku plašta stošca koja se preslikava na horizontalnu ravninu (konstrukcijom probodišta pravca koji definira centralno projiciranje) definira se transformacija kojom se uspješno preslikavaju izvodnice (mreža izvodnica) stošca (v. sl. 73.).

Znanost koja proučava probleme vizualizacije i preslikavanja točaka sfere, plašta valjka i plašta stošca na ravninu ili na zakrivljenu plohu (v. sl. 74.) naziva se kartografija.

Predlažemo čitatelju da kao projekt riješi sljedeći zadatak.

Zadatak 7.35. Zadana je sfera na tlocrtnoj ravnini. Konstruirajte projekciju točke sfere na plašt sferi opisanog:

• a)  valjka,
  
• b)  stošca.
  

Presjeci

g) Presjek dviju ravnina

Presjek dviju ravnina je skup svih točaka koje se nalaze istovremeno u obje ravnine tj. pravac koji zovemo presječnica. Dvije ravnine se ili sijeku ili su usporedne. Ako se ravnine preklapaju, onda smatramo da se radi o jednoj (istoj) ravnini.

Zadatak 7.36. Zadane su dvije ravnine. Konstruirajte njihovu presječnicu. Obrazložite korake konstrukcije!

 

Rješenje

Presječnica dviju ravnina je pravac. Dakle, treba odrediti barem dvije točke te presječnice.

Ravnina je definirana svojim tragovima, koji su presječnice s ravninama projekcija. Istoimeni tragovi ravnina ili se sijeku ili su usporedni. (Zašto?)

Dakle, presjeci dva para istoimenih tragova određuju tražene dvije točke presjeka ravnina ili usporednost presječnice s parom usporednih tragova.

Pogledajte rješenje

 

      Sakrijte

U rješenju je konstruirana presječnica dviju ravnina koje se sijeku pomoću presjeka prvih i trećih tragova. (Gdje se nalazi presjek drugih tragova? Zašto?)

h) Presjek ravnine i tijela

Presjek ravnine i uglatih tijela konstruira se kao presjek ravnine i dijelova ravnin\^{a} koje omeđuju tijelo.
Presjek "zaobljenih" tijela (valjka i stošca) i ravnine konstruira se kao skup probodišta izvodnica (pravaca) tijela i zadane ravnine.
Presjek ravnine i sfere/kugle konstruirat ćemo također kao skup presjeka izvodnica ("meridijana" ili glavnih kružnica) sfere i zadane ravnine.

Zadatak 7.37. Nacrtajte presjek kose ravnine i kocke.

 

Rješenje

Konstruirajmo presjeke istoimenih tragova ravnine i tragova strana kocke (pobočaka i baza kocke). Presječne točke definiraju presječnice zadane ravnine i kocke.

Pogledajte rješenje

 

      Sakrijte

Zadatak 7.38. Nacrtajte presjek ravnine i prizme.

Rješenje

Primjenimo crtanje/konstruiranje presječnice ravnine sa stranama prizme kao u prethodnom zadatku. U rješenju je naznačena vidljivost dijelova ravnine i strana četverostrane prizme smještenih u prvom oktantu.

Pogledajte rješenje

 

      Sakrijte

Zadatak 7.39. Nacrtajte presjek ravnine zadane trima nekolinearnim točkama i poliedra.

Rješenje

Konstruirat ćemo presjek opće ravnine i nepravilnog poliedra. Ravnina je zadana trima točkama $A, B$ i $C$. Konstruirajmo tragove ravnine zadane točkama $A, B$ i $C$ (v. zadatak 6.23.a). Postupak/konstrukcija tragova ravnine ista/slična je kao u zadatku 6.31. (Vidi prvu stranicu u "Pogledajte rješenje".)

Nakon konstrukcija presječnica ravnine i tijela vizualizirajmo, kao u zadatku 6.32., gdje ravnina ulazi i izlazi iz tijela kao i dijelove tijela koji su bliži gledatelju. (Vidi sljedeću stranicu u "Pogledajte rješenje".)

Pogledajte rješenje

 

      Sakrijte

Zadatak 7.40. Nacrtajte presjek ravnine i valjka.

Rješenje

Presječna krivulja ravnine i uspravnog kružnog valjka konstruira se kao skup probodišta izvodnica valjka s ravninom.

Nacrtan je uspravni kružni valjak upisan aksonometrijskoj kocki. Ravnina je zadana tragovima.

Odaberimo bilo koju izvodnicu i konstruirajmo njezino probodište sa zadanom ravninom. Lokus početne (proizvoljne) točke (nožišta) te izvodnice i konstruiranog probodišta definira presječnu krivulju.

Na slici 81. prikazane su tri ravnine i presjeci s uspravnim kružnim valjkom upisanim u aksonometrijsku kocku. Presječne krivulje konstruirane su na isti način (pomoću lokusa!) kao u prethodnom slučaju.

Pogledajte rješenje

 

      Sakrijte

Zadatak 7.41. Nacrtajte presjek ravnine i stošca.

Rješenje

Konstrukcija presjeka ravnine i stošca crta se na isti način koji je opisan u prethodnom zadatku.

Pogledajte rješenje (uspravni stožac)

Usporedite Sliku 81. sa slikama na Slici 83. ("Sljedeća stranica" te "Prethodna stranica" u "Pogledajte rješenje (uspravni stožac)").

 

      Sakrijte

Usporedite Sliku 81. i Sliku 84.

Usporedbom spomenutih slika uočit ćete da su postupci isti. Jedina je razlika između valjka i stošca u definiranju njihovih izvodnica.

Zadatak 7.42. Nacrtajte presjek ravnine i sfere/kugle.

Rješenje

Presjek ravnine i sfere/kugle konstruirat ćemo kao skup presjeka (probodišta!) kuglinih meridijana s ravninom.

Na slici 85. zadane su tri ravnine. (Ima li neke teoretske i konstrukcijske potrebe razmatrati ova tri položaja ravnina? Ili je dovoljna samo jedna ravnina i njezin položaj?)

Presjeci ravnine i sfere uvijek su kružnice, a u aksonometrijskom prikazivanju to su elipse.

Prodor dvaju tijela

Konstrukcija prodora temelji se na konstruiranju probodišta pravca (brida ili izvodnice) jednog tijela s ravninom ili zakrivljenom plohom drugog tijela. Skup takvih probodišta definira zajedničku krivulju na plohama tijela koja prodiru jedno u drugo.
U sljedećim zadatcima na vrlo jasan način čitatelj se može uvjeriti u velike prednosti uporabe računalnog softvera, ali i izgraditi znanje o temeljnim konstrukcijama bez kojih nema uspješne vizualizacije.
Rješenja zadataka i slike nalaze se u Rješavanje zadataka 2.gsp.

i) Prodor dvaju poliedara

Zadatak 7.43. Konstruirajte prodor trostrane piramide i šesterostrane prizme.

Rješenje

Neka trostrana piramida ima bazu u $\Pi_1$, a šesterostrana uspravna prizma u $\Pi_3$. Bočni bridovi piramide probadaju pobočke prizme.

Dakle, treba konstruirati probodišta pravaca i ravnina. Ta probodišta definiraju prodorni poligon kao i ulazni i izlazni dio tijela (v. sl. 86.).

j) Prodor poliedra i zaobljenog tijela

Zadatak 7.44. Konstruirajte prodor šesterostrane prizme i valjka.

Rješenje

Konstruiranje prodora tijela u ovom je slučaju slično konstruiranju u zadatku 7.43. uz uporabu konstrukcije iz zadatka 7.30.

Ovdje se može uočiti prednost uporabe tehnologije i softvera Sketchpad 5.03HR i njegova potprograma Lokus.

Algoritam kojim se konstruira prodorna krivulja ima nekoliko koraka:

 

Sad je lako vizualizirati koji je dio tijela izvan, a koji je unutar tijela (v. sl. 87.).

Zadatak 7.45. Konstruirajte prodor valjka i četverostrane piramide.

Rješenje

U ovom slučaju konstrukcija se razlikuje od prethodne konstrukcije samo u konstruiranju pravca piramide koji je spojnica "slobodne" točke baze i vrha piramide. Ostali koraci konstrukcije su isti!

k) Prodor dvaju zaobljenih tijela

Kod zaobljenih tijela umjesto bočnih bridova imamo izvodnice (pravce ili kružnice).

Zadatak 7.46. Konstruirajte prodor dvaju uspravnih kružnih valjaka.

Rješenje

Neka je, zbog jednostavnosti, baza jednog valjka u $\Pi_1$, a drugog u $\Pi_2$ ili $\Pi_3$.

Algoritam kojim se konstruira prodorna krivulja provodi se kroz nekoliko koraka:

 

Zadatak 7.47. Konstruirajte prodor valjka i stošca.

Rješenje

U ovom slučaju konstruiranje je slično konstrukciji u zadatku 7.46. (ili u zadatku 7.45.). Potrebno je definirati "slobodnu" izvodnicu jednog tijela i konstruirati njezino probodište s drugim tijelom. "Slobodna" točka i probodište pomoću Konstrukcije | Lokus definiraju računalu crtanje prodorne krivulje (v. sl. 90.).

Zadatak 7.48. Konstruirajte prodor dvaju stožaca.

Rješenje

Ovu konstrukciju ostavljamo čitatelju za vježbu. Čitatelj će primijeniti postupak/postupke koje je uvježbao u prethodnim zadatcima.

Zadatak 7.49. Konstruirajte prodor kugle i valjka.

Rješenje

U rješavanju ovog zadatka tj. u crtanju prodora valjka i kugle uporabit ćemo konstrukciju iz zadatka 7.32. (crtanje probodišta pravca i kugle) te konstruiranje "slobodne" izvodnice iz zadatka 7.46.

I ovdje, već ranije opisani, postupak omogućuje vizualizaciju prodora (v. sl. 91.).

Zadatak 7.50. Konstruirajte prodor kugle i stošca.

Rješenje

U rješavanju prodora kugle i stošca primjenjuju se postupci rješavanja primjenjeni u prethodnim zadatcima.

Na slici 92. prikazan je prodor stošca i kugle kao i dijelovi koji se nalaze izvan kugle.

l) Prodor dvaju složenih tijela

Složena tijela mogu biti razne kombinacije poliedara i zaobljenih tijela. I u takvim složenim situacijama crtanje/konstruiranje prodornih krivulja svode se na konstruiranje "slobodne" izvodnice jednog tijela i njezina probodišta s drugim tijelom. Sketchpadov potprogram Konstrukcija | Lokus crta prodornu krivulju.

Zadatak 7.51. Konstruirajte prodor dvaju složenih tijela generirana Gielisovom formulom $$f(x)=k\cdot\Bigg(\Bigg|\frac{\cos(\frac{m\cdot x}{4})}{a}\Bigg|^{n_2}+\Bigg|\frac{\cos(\frac{m\cdot x}{4})}{b}\Bigg|^{n_3}\Bigg)^{-\frac{1}{n_1}}, k, m, n_1, n_2, n_3\in R, a, b\in R\setminus\{0\}$$.

Rješenje

Ilustracije radi prikažimo dva uspravna tijela s bazama u $\Pi_1$ i $\Pi_2$.

 

Dokument kojim smo generirali ova tijela i njihovu prodornu krivulju može se uporabiti za mnoge druge slučajeve. Mijenjanjem parametara u Gielisovoj formuli na zaslonu računala se dinamično mijenjaju i aksonometrijske slike tih tijela kao i nacrtana prodorna krivulja.

Zadatak 7.52. Može li se nacrtati kocka pomoću funkcije sinus?

Rješenje

Uporabit ćemo aksonometrijsku kocku kao predložak na kojem ćemo rješavati zadatak. Znamo da su tlocrt, nacrt i bokocrt kocke sukladni kvadrati. Tri takva kvadrata trebamo nacrtati u aksonometrijskoj kocki (v. sl. 94.).

 

Graf temeljne elementarne funkcije sinus u pravokutnom Kartezijevom sustavu kao i u polarnom koordinatnom sustavu je na slici 95.

 

Uporabom parametara $a, b, c, d \in R$ možemo definirati funkciju sinus $$f(x)=a\sin (bx+c)+d.$$

 

Na slici 96. nacrtani su grafovi iste funkcije za koju je $a=1.00, b=6.00,$ $c=3.00, d=1.20$ kao kompozicije temeljnih elementarnih funkcija.

Mijenjajte vrijednosti parametara, primjerice, tako da je $a=2.98, b=2.88,$ $c=2.33, d=1.90$ (ili neke druge vijednosti) kako biste uočili utjecaj parametara na graf.

U svrhu rješavanja zadatka vratimo se Gielisovoj formuli pomoću koje se može definirati ravninski lik.

Istraživanje pokazuje da se kvadrat može nacrtati pomoću Gielisove formule $$f(x)=k\cdot\Bigg(\Bigg|\frac{\cos(\frac{m\cdot x}{4})}{a}\Bigg|^{n_2}+\Bigg|\frac{\cos(\frac{m\cdot x}{4})}{b}\Bigg|^{n_3}\Bigg)^{-\frac{1}{n_1}}, k, m, n_1, n_2, n_3\in R, a, b\in R\setminus\{0\}$$ za $a=b=1, m=4, n_1=n_2=n_3=1000$ (v. sl. 97.).

 

Tri takva sukladna kvadrata određuju, sukladno Mongeovoj projekciji, kocku.

Za prijelaz iz Mongeove projekcije kocke u kosu ili aksonometrijsku projekciju uporabit ćemo konstrukciju koja točku tlocrta (nacrta ili bokocrta) preslikava u kosu projekciju točke ili u aksonometrijsku projekciju točke (v. sl. 98.).

 

Lokus "slobodne" točke tlocrta i njezine kose projekcije ili njezine aksonometrijske projekcije definira preslikavanje koje "crta" kosu projekciju tlocrta ili aksonometrijsku projekciju tlocrta (v. sl. 99.). (Isto se može crtati i s nacrtom, kao što je prikazano na slici 100.)

Osim lokusa Sketchpad ima moćan alat/potprogram kojim se može definirati transformacija kojom se crta kosi ili aksonometrijski tlocrt.

Nakon što pomoću lokusa (ili transformacije) nacrtamo aksonometrijski tlocrt, nacrt i bokocrt Gielisova kvadrata alatima nacrtne geometrije nacrtamo kocku (v. sl. 101.). Na slici je kocka nacrtana kao prodor tri kvadratske sukladne uspravne prizme čije su baze u ravninama projekcija.

Plohe

Crtanje/vizualizacija ploha je vrlo zahtjevan geometrijski problem. U klasičnoj (statičnoj!) nacrtnoj geometriji ovaj se problem ne razmatra. Ili, ako se razmatra, onda je riječ samo o nekim posebnim plohama.

U odjeljku 7.4. naznačili smo i ilustrirali da nam uporaba današnje tehnologije tj. računalnog softvera Sketchpad 5.03 HR znatno pomaže u vizualizaciji ploha. Ne samo onih uobičajenih, klasičnih nego i plohe koje su do sad bile "rezervirane" za poučavanje na kasnijim godinama studija matematike. Pokazali smo i niz primjera kojima smo ilustrirali ovakav pristup učenju i poučavanju.

Ovdje ćemo objasniti ideju "spajanja" sketchpadova kalkulatora, koordinatnih (brojevnih) osi i aksonometrijske kocke.

Svi koraci stvaranja predložaka za rad detaljno se mogu vidjeti u dokumentima Predlošci.gsp i dr. koji "prate" ovaj sadržaj. Pripremljeni predlošci vrlo se lako mogu uporabiti u daljnjem radu.

Na slici 102. vidi se vizualizacija "valovite" plohe i njezina razdioba na crveno-bijeli uzorak. Puna vrijednost vizualizacije ove plohe može se uočiti u dokumentu na kojem se uključivanjem gumba Vrtnja "oživi" ploha tj. dinamično se mijenja. Mijenjanjem parametara dobivaju se i drukčiji položaji plohe u prostoru kao i drukčiji oblici.

 

m) Predlošci za crtanje ploha

Spojit ćemo 2D pravokutni koordinatni sustav s aksonometrijskom kockom. Posljedica je uvođenje 3D koordinata u aksonometrijsko prikazivanje objekata pomoću koordinata točaka na koordinatnim osima (v. sl. 103.).

To ćemo učiniti na sljedeći način:

      $1^{\circ}$ 2D koordinatni sustav "zalijepi" se za jedan vrh na donjoj bazi aksonometrijske kocke.

      $2^{\circ}$ Nacrtaju se koordinatne osi $_{+}x, _{+}y$ i $_{+}z$ pomoću vrha $O$ i bridova kocke.

      $3^{\circ}$ Odaberu se prikrate za koordinatne osi $_{+}x$ i $_{+}y$.

      $4^{\circ}$ Na koordinatnoj osi $_{+}x$ nacrta se bilo koja točka i označi s $x.$ Na koordinatnoj osi $_{+}y$ nacrta se bilo koja točka i označi s $y.$

      $5^{\circ}$ U koordinatnom sustavu $O_{+}x_{+}y_{+}z$ nacrta se točka s koordinatama $(x, y, 0)$.

 

Temeljni izgled predloška, nakon što se sakriju pomoćne konstrukcije, a prije uvođenja parametara kao i funkcijske vrijednosti aplikate dobije se kad se sakrije kocka i koordinatni sustav pomoću gumba Sakrij kocka i Sakrij k.s. na slici 103.

Zadatak 7.53. Na temelnjom predlošku na slici 103. nacrtajte točku s koordinatama $(x, y, z).$

Rješenje

Na koordinatnoj osi $_{+}z$ nacrtajmo točku s koordinatom $z$. Točke s koordinatama $(0, 0, 0), (x, 0, 0),$ $(x, y, 0)$ i $(0, y, 0)$ su vrhovi donje osnovke pravokutne uspravne prizme. Nacrtajmo točke gornje osnovke s koordinatama $(0, 0, z), (x, 0, z),$ $(x, y, z)$ i $(0, y, z)$. Točka $(x, y, z)$ koja je prostorno dijametralno suprotna ishodištu $O$ rješenje je zadatka.

Spojit ćemo sad i 2D pravokutni koordinatni sustav s aksonometrijskom kockom na drugi način. Posljedica je uvođenje 3D koordinata u aksonometrijsko prikazivanje objekata pomoću koordinata točke $R_1$ koja se nalazi u ravnini 2D koordinatnog sustava.

To ćemo učiniti na sljedeći način:

      $1^{\circ}$ Nacrtajmo točku $R_{1}$ u ravnini koordinatnog sustava $xOy$.

      $2^{\circ}$ Izmjerimo njezine koordinate $x_{R_{1}}$ i $y_{R_{1}}$.

      $3^{\circ}$ Na osi apscisa $x$ nacrtajmo točke s koordinatama $(x_{R_{1}}, 0)$ i $(y_{R_{1}}, 0)$.

      $4^{\circ}$ Ravninski (2D) koordinatni sustav zalijepi se za jedan vrh na donjoj bazi aksonometrijske kocke.

      $5^{\circ}$ Ravninski (2D) koordinatni sustav zalijepi se za jedan vrh na donjoj bazi aksonometrijske kocke.

      $6^{\circ}$ Odaberemo prikrate za koordinatne osi $_{+}x$ i $_{+}y$.

      $7^{\circ}$ Konstruiramo prikratu i nacrtamo na osi $_+x$ točku $x$ koja je aksonometrijska slika točke $(x_{R_{1}}, 0)$.

      $8^{\circ}$ Na sličan način se na osi $_+y$ dobije točka $y$.

      $9^{\circ}$ U koordinatnom sustavu $O_{+}x_{+}y_{+}z$ nacrtamo točku s koordinatama $(x, y, 0)$.

      $10^{\circ}$ Pomoću sketchpadova kalkulatora i numeričkih vrijednosti koordinata $x_{R_{1}}$ i $y_{R_{1}}$ točke $R_1$ izračunamo numeričku vrijednost $z=f(x,y).$

      $11^{\circ}$ Nacrtamo točku s koordinatama $(x,y,f(x,y))$.

      $12^{\circ}$ Točke $R_1$ i $(x,y,f(x,y))$ u $\text{Transformacije|Definirajte korisničku transformaciju}\dots | R_1\rightarrow (x,y,f(x,y))$ definiraju transformaciju koja svaku točku 2D koordinatne ravnine $xOy$ aksonometrijski preslikava u 3D koordinatni prostor $_+x_+y_+z.$

 

Temeljni izgled predloška, nakon što se sakriju pomoćne konstrukcije, a prije uvođenja parametara kao i funkcijske vrijednosti aplikate dobije se kad se sakrije kocka i koordinatni sustav pomoću gumba Sakrij kocka i Sakrij k.s. na slici 104.

Predloške mreže uprabit ćemo u prikazivanju ploha pomoću definirane transformacije. Pomoću transformacije mreže lako ćemo uočiti kako definirana transformacija "formira" prikaz plohe.

Na slici 105. prikazana su tri predloška mreže koji se mogu primijeniti u vizualizaciji ploha.

 

n) Primjeri uporabe predložaka

Prikažimo na nekoliko primjera kako uporabiti konstruirane predloške u 3D vizualizaciji ploha.

Način 1.

Na slici 65. nacrtana je pomoću lokusa ploha definirana s $\displaystyle f(x,y)=\frac{c}{d}\sqrt{ax+bx^4+y^2}$ i parametrima $a=0.65, b=1.00,$ $c=0.50, d=2.00$.

Jedna izvodnica mreže nacrtana/konstruirana je pomoću lokusa točaka $x$ i $(x,y,f(x,y))$, a druga pomoću lokusa točaka $y$ i $(x,y,f(x,y))$.

Pomoću prve izvodnice i točke $y$ uz uporabu $\text{Konstrukcije|Familija krivulja}$ računalo crta dio mreže, a pomoću druge izvodnice i točke $x$ drugi dio mreže kojom vizualiziramo plohu (v. sl. 106.).

Dvoklikom "miša" na $\frac{c}{d}\sqrt{ax+bx^4+y^2}=1,35$ otvara se prozor sa sketchpadovim kalkulatorom. Unesemo li u njega promjene zapisa plohe, nakon zatvaranja prozora, na zaslonu računala pojavljuje se promijenjena ploha. Mijenjanjem vrijednosti parametara $a, b, c$ i $d$ možemo uočavati njihov utjecaj na vizualizaciju plohe.

Način 2.

Plohu možemo vizualizirati i na drugi način uporabom predloška generiranog točkom $R_1.$ U taj predložak koji se vidi na slici 107. treba zalijepiti jednu od mreža sa slike 105. ili neku fotografiju.

 

Tako da se dobije slika 108.

 

"Zaljepivši" kvadratnu mrežu (na kojoj su crvenom i plavom bojom istaknute osi) pomoću $\text{Transformacije|Transformacija1}$, koja je ranije u predlošku definirana, konstruiramo/crtamo plohu. Dinamičnim mijenjanjem parametara i/ili položaja kvadratne mreže možemo crtati/konstruirati dio plohe ili cijelu plohu (v. sl. 109).

U predložak na slici 110. zalijepimo fotografiju Aske i primijenimo definiranu transformaciju.

 

Fotografija Aske i njezina transformacija vidljive su na slici 111. i 112.

Promijenimo li zapis plohe u predlošku na slici 110. crtamo/konstruiramo novu plohu ili transformaciju fotografije Aske (v. sl. 113.).

U predložak na slici 107. zalijepimo fotografiju Aske, ali i definirajmo novu transformaciju kako bismo dobili reljefnu plohu Möbiusove transformacije $$f: C\rightarrow C, f(z)=\frac{az+b}{cz+d}, a,b,c,d\in C.$$

Za realne vrijednosti koeficijenata $a=30, b=29, c=-46, d=52$ crta/definira se reljefna ploha fotografije Aske. Promjenom vrijednosti parametara reljefna ploha izgleda drukčije (v. sl. 114. i 115.).

Na sličan se način konstruira predložak u kojem se pomoću grafa funkcije definira aksonometrijski prikaz izvodnice rotacijskog tijela.

Na slici 116. uporabom grafa funkcije $q(x)=\frac{2}{9}x^3+2$ nacrtana je izvodnica rotacijskog tijela. Izvodnica je nacrtana kao aksonometrijska slika grafa funkcije i pomoću lokusa nacrtana je mreža.

Točkom $T$ grafa definiramo paralelu (kružnicu). Familija paralela dobiva se pomoću točke $T$ i te "početne" paralele.

Familija meridijana dobiva se pomoću točke $XY$ i grafa funkcije kao "početnog" meridijana.

Paralele i meridijani definiraju oblik rotacijskog tijela (v. sl. 116.).

Dvoklikom miša na definiciju funkcije $q(x)$ otvara se prozor sketchpadova kalkulatora u koji možemo unijeti parametre i/ili drukčiji zapis funkcije (v. sl. 117.).

Zadatak 7.54. Nacrtajte plohe:

• a)  $f(x,y)=\ln (x^2+y^2)$,
  
• b)  $f(x,y)= e^x\cdot\cos y$,
  
• c)  $f(x,y)= \sin (x+y)$,
  
• d)  $f(x,y)= e^{x^2+y^2}$,
  
• e)  $f(x,y)= -\frac{xy^2}{x^2+y^2}$,
  
• f)  $f(x,y)= \frac{1}{x^2+y^2}$,
  
• g)  $f(x,y)= 1-|y|$,
  
• h)  $f(x,y)= 1-|x|-|y|$,
  
• i)  $f(x,y)= \frac{x+y}{x^2-y^2}$,
  
• j)  $f(x,y)= \sin \left(\frac{1}{xy}\right)$,
  
• k)  $f(x,y)= \frac{x+y}{2+\cos x}$,
  
• l)  $f(x,y)= \cos \left(\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}\right)$,
  
• m)  $f(x,y)= \frac{1}{2}\left(\left||x|-|y| \right|-|x|-|y| \right)$,
  
• n)  $f(x,y)= y^2-x^2$,
  
• o)  $f(x,y)= tg^{-1} \left(\frac{y}{x} \right)$.
  

Zadatak 7.55. Nacrtajte nekoliko Gielisovih i Lameovih ploha.

Zadatak 7.56. U zadatku 7.54 "ugradite" parametre $a, b, c, d, \dots$ i istražite kako oni utječu na plohu.

Sjene

Pogledajmo prekrasnu fotografiju Jelen Davora Rostuhara iz Zagreba. Ova fotografija na umjetnički način u potpunosti ilustrira dio nacrtne geometrije koji ćemo rješavati u ovom odjeljku.

Ovdje ćemo, sukladno najavi i naslovu odjeljka 7.5., obrazložiti rješavanje nekoliko zadataka. Dokument koji je načinjen u postupku rješavanja jednog zadataka može fleksibilno poslužiti, uz male izmjene, i u rješavanju sličnih problema.

o) Sjena tijela i paralelna rasvjeta

Načelno, nema razlike u crtanju bačene sjene u paralelnoj i centralnoj rasvjeti. Jedina je razlika u izvoru rasvjete. Za paralelnu rasvjetu izvor je neizmjerno dalek, pa su zrake međusobno usporedne, a u centralnoj rasvjeti sve zrake izlaze iz točkastog izvora. Probodišta i ostali elementi, u oba slučaja, konstruiraju se na isti način.

Zadatak 7.57. Zadani su kocka i paralelna rasvjeta. Nacrtajte sjenu koju baca kocka na tlocrtnu ravninu $\Pi_1$.

 

Rješenje

Na predlošku je zadana zraka rasvjete i njezin tlocrt.

Nacrtajmo sjene vrhova kocke. To su probodišta zraka rasvjete vrhom kocke s tlocrtnom ravninom. Crtamo konturu sjene tako da analiziramo konstruirana probodišta tj. bačene sjene vrhova.

Probodišta nekih zraka nalaze se unutar konstruirane konture sjene, a neki su vrhovi sami sebi sjena. Dio tijela nalazi se u samosjeni (v. sl. 120.).

Pogledajte rješenje

 

      Sakrijte

Zadatak 7.58. Zadani su četverostrana uspravna piramida i paralelna rasvjeta. Konstruirajte sjenu koju baca piramida na tlocrtnu i nacrtnu ravninu.

 

Rješenje

Nacrtajmo sjenu vrha piramide na ravnine $\Pi_1$ i $\Pi_2$ kao probodišta (prvo i drugo probodište) pravca s tim ravninama.

U prezentiranom slučaju na slici vrhovi baze sami su sebi sjena, dok je sjena vrha piramide na $\Pi_2$. Bačena sjena se lomi na osi $x$.

Pogledajte rješenje

 

      Sakrijte

Obris sjene odredimo analizirajući konstruirane sjene bridova piramide na $\Pi_1$ i $\Pi_2$. Dio sjene brida je na $\Pi_1$ i na $\Pi_2$. Neki su dijelovi sjene unutar obrisa, a neke su pobočke u samosjeni.

Zadatak 7.59. Zadani su uspravni stožac s bazom u $\Pi_1$ i paralelna rasvjeta. Konstruirajte sjenu koju baca stožac na tlocrtnu ravninu $\Pi_1$ i nacrtnu $\Pi_2.$

Rješenje

Konstrukcija sjene stošca slična je konstrukciji u zadatku 7.58. Umjesto sjene bočnih bridova piramide treba konstruirati sjene dviju graničnih izvodnica tj. izvodnica koje razdvajaju osvijetljeni dio stošca od onog koji je u samosjeni.

Na bazi konstruiramo početne točke tih izvodnica kao dirališta tangenata iz tlocrta sjene vrha stošca na elipsu baze.

Da bi se u aksonometriji konstruirala okomica treba kružnicu i tlocrt zrake rasvjete prevaliti u pravu veličinu i tamo konstruirati okomicu. Presjek zrake (prevaljenog tlocrta) s kružnicom baze tražene su točke graničnih izvodnica.

Nakon toga se konstruiraju aksonometrijske projekcije tih presjeka, projekcije pripadnih izvodnica i njihove sjene.

Konstrukcija i koraci opisani u gornjem tekstu vidljivi su u dokumentu priređenom za ovaj zadatak.

Gotovo rješenje prikazano je na slici 123.

U slučaju konstruiranja sjene valjka prvo treba razmotriti konstruiranje sjene kružnice koja ne leži u ravnini projekcije. To ćemo riješiti u sljedećem zadatku.

Zadatak 7.60. Zadani su likovi u ravnini usporednoj s ravninom tlocrta i pa\-ra\-lel\-na rasvjeta. Konstruirajte bačenu sjenu na $\Pi_1$ sljedećih likova:

• a)  kružnice,
  
• b)  kružnog vijenca.
  

Rješenje

U oba slučaja konstruiranje sjena je slično: pomoću lokusa ili definiranjem transformacije.

Nacrtajmo kružnicu (ili kružni vijenac) usporedan s $\Pi_1$. Pomoću zrake i njezinog tlocrta konstruiramo sjenu bilo koje točke kružnice. Ta točka i njezina bačena sjena definiraju lokus/transformaciju koji crta kompletnu sjenu kružnice (v. Pogledajte rješenje 1. i 2.).

Pogledajte rješenje 1.

 

      Sakrijte

Pogledajte rješenje 2.

 

      Sakrijte

Zadatak 7.61. Neka je kružnica usporedna s ravninom $\Pi_1$. Konstruirajte u paralelnoj rasvjeti bačenu sjenu kružnice na ravninu $\Pi_2$.

Riješimo sada problem crtanja/konstruiranja sjene valjka.

Zadatak 7.62. Zadani su uspravni kružni valjak s bazom u $\Pi_1$ i paralelna ras\-vje\-ta. Konstruirajte bačenu sjenu valjka.
Rješenje

Konstrukcija sjene valjka s bazom u $\Pi_1$ slična je konstrukciji u zadatku 7.59.

Konstruirajmo granične izvodnice i njihove sjene. Konstruiramo, na bazi, početne točke tih izvodnica kao dirališta tangenata na elipsu baze (koje su u ravnini baze) i koje su usporedne s tlocrtom zrake rasvjete. Na slici vidi se sjena valjka bačena na tlocrtnu ravninu.

Pogledajte rješenje

 

      Sakrijte

Čitatelju za vježbu predlažemo konstruiranje bačene sjene valjka na ravninu $\Pi_2$.

Uporaba tehnologije nam omogućuje da vrlo lako i efikasno nacrtamo i sjenu nekog rotacijskog tijela. Na slici 128., primjerice, tijelo koje nastaje rotacijom krivulje zupčanika baca sjenu (u paralelnoj rasvjeti) na tlocrtnu ravninu.

Tako sada, na sličan način, možemo konstruirati sjenu bilo koje plohe! Primjerice, prikažimo sjenu rotacijskog paraboloida (v. sl. 128.).

Problem konstruiranja sjene kugle je nešto složeniji. No, uporabom softvera Sketchpad i ovaj problem se lako rješava. Na slici 129. istaknute su tri ravnine i njihove presječne kružnice (crvena, plava i zelena) kao i područja u kojima su bačene sjene skupova tih presječnih kružnica, a samim time i bačena sjena sfere na tlocrtnu ravninu.

p) Sjena tijela i centralna rasvjeta

Spomenuli smo da je konstruiranje bačene sjene tijela u centralnoj rasvjeti, u pravilu, isto kao i u paralelnoj rasvjeti. Stoga čitatelju predlažemo da za vježbu riješi sljedeće zadatke.

Zadatak 7.63. Zadani su kocka i centralna rasvjeta. Nacrtajte sjenu koju baca kocka na tlocrtnu ravninu $\Pi_1$.

Zadatak 7.64. Zadani su četverostrana uspravna piramida i centralna rasvjeta. Konstruirajte sjenu koju baca piramida na tlocrtnu i nacrtnu ravninu.

Zadatak 7.65. Zadani su uspravni stožac s bazom u $\Pi_1$ i centralna rasvjeta. Konstruirajte sjenu koju baca stožac na tlocrtnu ravninu $\Pi_1$ i nacrtnu $\Pi_2.$

Zadatak 7.66. Zadani su uspravni stožac s bazom u $\Pi_1$ i centralna rasvjeta. Konstruirajte sjenu koju baca stožac na tlocrtnu ravninu $\Pi_1$ i nacrtnu $\Pi_2.$

Zadatak 7.67. Zadani su likovi u ravnini usporednoj s ravninom tlocrta i centralna rasvjeta. Konstruirajte bačenu sjenu na $\Pi_1$ sljedećih likova:

• a)  kružnice,
  
• b)  kružnog vijenca.
  

Zadatak 7.68. Zadani su uspravni kružni valjak s bazom u $\Pi_1$ i centralna rasvjeta. Konstruirajte bačenu sjenu valjka.

Problem bacanja sjene kugle (u obje rasvjete) ostavljamo čitatelju za vježbu ili, još bolje, za projekt na kraju poučavanja.

Idi na početak