Web Sketchpad za osnovnu i srednju školu

 

                                                

                        Petar Mladinić i Nikol Radović

U nizu vizualizacija omogućena je uporaba WSP alata. Uporabom njihovom mogu se izravno na stranici (html datoteci) mijenjati parametri, istraživati promjene i kreirati hipoteze.

Matematičke oznake i formule napisane su pomoću Latex-a i generiraju se kad je računalo povezano s internetom.

Prema novom kurikulu neki se sadržaji sada nalaze u razredu različitom od dosadašnjeg.

Predlažemo da se prije uporabe ovih datoteka pregledaju sadržaji susjednih razreda te na taj način uoče sve datoteke koje se mogu rabiti u planiranom razredu (sukladno starom ili novom kurikulu).

       Riječ, dvije $\dots$

Ovo je interaktivna knjiga. Sadržaji koji će se prezentirati izabrani su kao primjeri uporabe Web Sketchpada (WSP) u osnovnoj i srednjoj školi. U ovoj ću datoteci prezentirati radove koji su kreirani pomoću Sketchpada, a pomoću WSP-a konvertirani u dinamičnu html datoteku. Raspravit ću i određene aspekte uporabe alata i pokušati ukazati kako se uporabljuju ti alati na definiranim primjerima. Na učiteljima/nastavnicima i učenicima je težište stjecanja iskustva i promišljanje kreativne uporabe ovog potpuno novog i vrhunskog softvera u cilju boljeg poučavanja i učenja matematike. Definiranjem i istraživanjem eksplicitno ću ilustrirati kako se na primjerima mogu ostvariti neki ishodi Nacionalnog okvirnog kurikuluma (NOK-a):

• $\dots$ uspostaviti i razumjeti veze i odnose među matematičkim objektima, idejama, pojmovima, prikazima i postupcima te oblikovati cjeline njihovim nadovezivanjem,
  
  
• $\dots$ organizirano prikazati matematičke objekte, ideje, postupke i rješenja riječima, slikama, crtežima, maketama, dijagramima, grafovima, listama, tablicama, brojevima, simbolima i misaono,
  
• $\dots$ postavljati matematici svojstvena pitanja (Postoji li? Ako postoji, koliko? Kako ćemo ih pronaći? Zbog čega? i slična) te stvarati i istraživati na njima zasnovane matematičke pretpostavke,
  
• $\dots$ obrazložiti odabir matematičkih postupaka i utvrditi smislenost dobivenoga rezultata,
  
• $\dots$ pratiti, stvarati i vrjednovati lance matematičkih argumenata različitih vrsta te primjenjivati analogiju, generalizaciju i specijalizaciju,
  
• $\dots$ kreativno, kritički i fleksibilno misliti,
  
• $\dots$ primijeniti koordinatnu geometriju, za prikazivanje i istraživanje svojstava geometrijskih oblika,
  
• $\dots$ rabiti geometrijske transformacije ravnine za opisivanje pravilnosti i svojstava geometrijskih uzoraka,
  
• $\dots$
  

Dakle, ovom se datotekom, osim nabrojenih zahtjeva, ilustrira i mogući razvoj osjećaja za analogiju koja učenicima omogućuje drukčije razmišljanje. Na ovaj način oni mogu otkriti i spoznati mnoge "nove" zanimljive činjenice elementarne ("školske") matematike.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$ Kao student i, kasnije, nastavnik upoznao sam se s radom velikih pedagoga i matematičara Fredérique i Georgesa Papy. U Zadru sam 1983. godine sudjelovao na međunarodnoj konferenciji o modernizaciji nastave matematike, gdje sam i osobno upoznao gospođu Fredérique i njezinog muža Georgesa.
Njihove poglede na nastavu matematike u Hrvatskoj prezentirao je i zastupao u svojem radu sa studentima na PMF-u u Zagrebu Ignacije Smolec koji je na hrvatski jezik preveo njihovu knjigu Dijete i grafovi.

Svi njihovi radovi (udžbenici, priručnici, knjige i ostali edukacijski materijali), kao i realizirani projekti, svjedoče da djeca vrlo lako i uspješno mogu usvajati "teške" matematičke apstrakcije uporabom boja, grafova i efikasnog, sukladno uzrastu, snižavanja apstrakcije, tj. osmišljavanjem matematičkog modela/priče u kojoj se djeca onda kreativno snalaze. Tome svjedoče mnogi objavljeni radovi djece i iskustva učitelja koji su njihove ideje iskušali u svojem poučavanju.

Rad Johana Gielisa iz 2003. godine upoznao sam na internetu. Godine 2010. gospodina Gielisa pozvao sam na IV. kongres nastavnika matematike RH da hrvatskim nastavnicima, kao i našim učenicima i studentima, predstavi svoju formulu i kako je došao do njezina otkrića/formulacije te njezinu uporabu.

Na Ljetnim školama Pete gimnazije, koje su nakon toga slijedile, upoznao je nastavnike i učenike s načinom uporabe njegove formule u biologiji, matematici, 3-D printanju i modeliranju.

U ovoj datoteci naznačit ću kako se Gielisova formula može uporabiti u modernizaciji školske nastave matematike. Ukazat ću na put od Pitagore i Laméa do Gielisa uočavajući postupno poopćavanje i otkrivanje u matematici.

Na ovaj ću način istaknuti "zatvaranje" kruga od Pitagore (i njegove "idealizacije"/metrike) do Gielisa (i njegove metrike prirode) i eksplicitno pokazati kako su ideje generalizacije i poopćavanja moćan matematički alat u nastavi i znanosti.

Na ovaj način posebice ću istaknuti da je takav pristup primjeren djeci i školskoj matematici.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
"Inteligentna" ("pametna") tehnologija utječe na učenje i poučavanje tako da neki sadržaji postaju suvišni, neki važniji, a neki mogući. Korisna je za razvoj pojmovnog razumijevanja i sposobnosti rješavanja problemskih zadataka.

U pisanju ove datoteke i istraživanju uporabe ovih primjera oslonilo sam se na mogućnosti softvera dinamične geometrije Sketchpad 5.03HR, a posebice na softver Web Sketchpad kojim se kovertiraju .gsp datoteke u .json datoteke uključene u .html datoteku. Softver Web Sketchpad kreirali su Scott Steketee i Daniel Scher američki programeri, sveučilišni profesori i metodičari.
Koncept/ideja koordinata omogućava da se geometrijskim objektima pridružuju algebarski objekti. Moguće je i obrnuto, algebarskim objektima pridružiti odgovarajuće geometrijske objekte. Ako se to ima na umu, onda se Sketchpad vrlo kreativno i efikasno može uporabiti za vizualizaciju, proučavanje i istraživanje algebre, a ne samo geometrije. Dakle, to je alat za sve sadržaje školske i velikog dijela "više" matematike. Postoje prekrasni primjeri uporabe Sketchpada u "višoj" (fakultetskoj) matematici, primjerice u vizualizaciji ploha ili kompleksnim funkcijama ili Booleovoj algebri itd.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
Ovdje su ilustrirana četiri aspekta Sketchpadovih datoteka koje su konvertirane Web Sketchpadom i ugrađene u ovu html datoteku:

• gotovi materijali za rad i istraživanje (s uputama i razradom),
  
• predlošci za samostalan rad korisnika (s uporabom alata u rješavanju konkretnih zadataka/problem),
  
• simulatori,
  
• poglavlje knjige koja je iskreirana uporabom Sketchpada i LaTexa.
  

$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
Svojim recenzijama i savjetima te prijedlozima i iskustvom uporabe bitno ćete mi pomoći tekst popraviti kao i uputiti koji Vas primjeri zanimaju, ako mi svoja promišljanja uputite na web stranicu www.huni.hr ili e-adresu petar.mladinic1@zg.ht.hr.

Od srca zahvaljujem svima koji mi ukažu na pogrješke (bilo koje vrste) i predlože poboljšanja ili ispravke koje ću odmah unijeti u datoteku/prijelom, a "svjetlo dana" ugledat će u sljedećem izdanju datoteke i biti objavljeni odmah na web stranici www.huni.hr .

Također se zahvaljujem kolegi Predragu Brođancu koji mi je pomogao u učenju i "otkrivanju" mogućnosti i tajni html-a.

Posebnu zahvalu upućujem Johanu Gielisu koji mi je dopustio uporabu njegovih ilustracija i dao dragocjene savjete. Također zahvaljujemo gospodi Ivani Gudelj, Jasenki Topić, Toniju Nikoliću, kao i Slavku Brani za dopuštenje uprabe slika iz knjige Crvena knjiga vaskularne flore Hrvatske.
Veliku zahvalu upućujem Scottu Steketee i Danielu Scheru koji su mi omogućili sudjelovati testiranjem posljednjih 5 - 6 godina u stvaranje (dok su stvarali/programirali WSP) i uporabu njihovog Web Sketchpada i koji su mi davali i još uvijek daju dragocjene savjete u kreiranju ove html datoteke (a i ostalih radova/datoteka).
       petar.mladinic1@zg.ht.hr
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$

1. Uvod

Uvodno pogledajmo nekoliko sljedećih primjera.

Igra/slagalica poznata pod nazivom Tangram vrlo lijepo oslikava mogućnosti uporabe njezine u matematičkim promišljanjima i strategijama koje djeca uporabljuju u slaganju zadanih digura.

Primjer 1. Dijelove Tangrama složite tako da dobijete likove koji se spominju na animacijskom gumbu.



Primjer 2. Ovdje se ilustrira niz primjera uporabe Sketchpada u osnovnoj školi (od 1. do 8. razreda).




Primjer 3. Ovdje se ilustrira primjer uporabe Sketchpada u rješavanju strip zadatka Tko je najjači?.

Primjer 4. U ovom se primjeru ilustrira rješenje 5 različitih problema koji se efikasno vizualiziraju. Za vizualizaciju i programiranje u prvi plan stavlja "programiranje" pomoću Sketchpadovih mogućnosti, a ne nekog od poznatih programskih jezika.

Primjer 5. U ovom se primjeru ilustrira istraživanje jeli točka ili krug u nekom skupu ili nije. Za vizualizaciju i programiranje u prvi plan se stavlja "programiranje" pomoću Sketchpadovih mogućnosti, a ne nekog od poznatih programskih jezika.

2. Osnovna škola

Razred: 1. - 4.

Primjer 3. Ovo je tablica množenja pomoću Edukacijskog Majmuna. Povlačenjem točaka A i B (koji ukazuju na brojeve koji se množe) dobiva se rezultat na koji ukazuje Majmun.

Primjer 4. Zbrojite dva broja.

Primjer 5. Dijeljenje pomoću grupiranja "kamenčića". Kliknite dvaput na "ukupun broj kamenčića" i upišite dijeljenika. Isto tako upišite "veličinu grupe, tj. djelitelja."

Primjer 6. Ovo je problemski zadatak u kojem učenik treba odrediti dva broje za koje zna koliki im je zbroj i umnožak. Na kraju (na stranici 4) nalazi se igra u kojoj dva učenika igraju igru. Dvoklikom miša na "zbroj" i "umnožak" otvara se kalkulator pomoću kojega se mogu zadati druge vrijednosti.

Primjer 7. Ovo je problemski zadatak u kojem učenik treba odrediti zbroj brojeva za svaki zadani krug. Dvoklikom miša na "Nova mozgalica" mogu se zadati druge vrijednosti. Ako je odgovor točan krug se oboji bojom kojom je omeđen, tj. bojom svoje kružnice.

Primjer 8. Ovo je prikaz sata i njegovih kazaljki. Pokreće se pritiskom na gum "Animirajte".

Primjer 9. Ovo je prikaz digitalne štoperice. Pokreće i poništava mjerenje pritiskom na gumbe. Mogu se mijenjati dimenzije štoperice kao i brzina mjerenja.

Primjer 10. Ovo je konverter brojeva u rimski zapis. U okvirić se upiše broj čiji rimski zapis želimo dobiti.

Primjer 11. Ovo je predložak za crtanje mnogokuta.

Primjer 12. Ovo je predložak za crtanje i mjerenje u točkastoj ravnini.

Primjer 13. Ovo je predložak za skakanje na brojevnoj crti. U okvire se upiše broj skokova i duljina jednog skoka. Na brojevnoj crti se pročita rezultat, tj. ukupna udaljenost skakanja.

Primjer 14. Ovo je model kocke.


Primjer 15. Tajni zbrojevi je igra logike koja razvija vještine ranog algebarskog rasuđivanja učenika dok otkrivaju brojčane vrijednosti koje su dodijeljene četirima geometrijskim oblicima. Na stranici 3. u Show odgovor vide se parametri u koje se dvoklikom na njih otvara kalkulator kojim se mogu promijeniti cjelobrojne vrijednost (cijeli brojevi) likova. U tom slučaju se ova igra može proširiti na igru dvoje učenika u kojoj naizmjenično jedan drugome zadaju zadatke.

Razred: 5.

Bijeli okvirići u sljedećem primjeru omogućuju nam upisivanje drugih vrijednosti, pa s ovom datotekom možemo računati razlomke i vidjeti njihov vizualni prikaz pomoću krugova i njihovih dijelova.

Primjer 5.1. U ovom primjeru imamo zbrajanje pravih razlomaka (strana 1.) i oduzimanje mješovitih (strana 2.). Mišem kliknite, ispod zadanih razlomaka, množeći ih brojem 1 (zapisanom u obliku razlomka) na brojnik tog razlomka tako da ih "svedete" na zajednički nazivnik. Klikanjem na taj brojnik otvara se kalkulator pomoću kojega upisujete brojeve kojima svodite razlomke na zajednički nazivnik.

Primjer 5.2. U ovom primjeru animiramo koncentrične krugove koje smo obojili različitim bojama. Na ovaj smo način dobili jednostavni kaleidoskop. Pomoću Widgetsa možemo mijenjati njihove boje.


Primjer 5.3. U ovom primjeru rotiramo trokute koje smo obojili različitim bojama. Na ovaj smo način dobili kaleidoskop. Pomoću Widgetsa možemo mijenjati njihove boje.


Primjer 5.4. U ovom primjeru ilustriramo mjesnu vrijednost znamenki (J, D. S, $dots$).

U sljedećem primjeru prikazuje se pravi razlomak u obliku decimalnog broja. Znamenke jednake vrijednosti imaju istu boju, pa se lako može uočiti koliko i kojim redom se te znamenke pojavljuju u prikazu. Dvoklikom miša na brojnik i/ili nazivnik "otvara" se mogućnost mijenjanja njihove brojčane vrijednosti, tj. decimalnog prikaza. Povlačenjem "točke" označene s "Povuci ..." omogućuje slaganje znamenki decimalnog prikaza u obliku tablice s određenim brojem redaka i stupaca. Mijenjanjem broja redaka i stupaca u prikazu može se utvrditi ima li kakve zakonitosti u prikazu zadanog razlomka.

Primjer 5.5. Podijelite brojnik s nazivnikom razlomka.



Primjer 5.6. U ovom primjeru ilustriramo decimalni prikaz pravog razlomka i njegove decimale u boji.

Razred: 6.

Primjer 6.1. U ovom primjeru prikazano je rješavanje linearnih jednadžbi pomoću vage.




Primjer 6.2. U ovom primjeru prikazano je množenje cijelih brojeva pomoću grupiranja i pomoću površine pravokutnika.


Primjer 6.3. U ovom primjeru prikazano je decimalno "zumiranje" zapisa broja.


Primjer 6.4. U ovom primjeru prikazano je rješavanje linearnih jednadžbi pomoću vage i utega i balona. Na taj se način uvježbava/ilustrira algoritam/postupak kojim se rješavavaju algebarski zadane jednadžbe.


Primjer 6.5. U ovom je primjeru prikazano dokazivanje bez riječi koje je načinio Vašiček.


Primjer 6.6. Tajni zbrojevi je igra logike koja razvija vještine ranog algebarskog rasuđivanja učenika dok otkrivaju brojčane vrijednosti koje su dodijeljene četirima geometrijskim oblicima. Na stranici 3. u Show odgovor vide se parametri u koje se dvoklikom na njih otvara kalkulator kojim se mogu promijeniti cjelobrojne vrijednost (cijeli brojevi) likova. U tom slučaju se ova igra može proširiti na igru dvoje učenika u kojoj naizmjenično jedan drugome zadaju zadatke.


Primjer 6.7. U lijevom stupcu nalaze se jednadžbe zadane s krugovima i kvadratima. Kad prenesemo jednadžbu u desni stupac dobiva se zbroj vrijednosti nepoznanica naznačenih u toj odabranoj jednadžbi. Odabirom jednadžbi i njihovom usporedbom mogu se dobiti podatci iz kojih se onda može zaključi kolika je vrijednost zadanih nepoznanica.

Razred: 7.

Primjer 7.1. U ovom primjeru prikazana crtanje i mjerenje kružnice, kruga i njihovih dijelova.


Primjer 7.2. U ovom primjeru prikazano je crtanje i mjerenje pravilnih mnogokuta.


Primjer 7.3. U ovom primjeru prikazana crtanje i mjerenje kružnice, kruga i njihovih dijelova.



Primjer 7.4. Ovdje se ilustrira osna simetrija. Komponiranjem osnih simetrija dobivaju se druge transformacije ravnine: translacija, rotacija, centralna simetrija i nova osna simetrija.

Razred: 8.

Primjer 8.1. U ovom se primjeru nalaze činjenice o Pitagorinom poučku: ilustracija tvrdnje poučka, jedan od poznatih dokaza, Pitagorine cjelobrojne trojke i Pitagorina spirala.



Primjer 8.2. Ovo je model kocke. Na ovom se modelu mogu ilustrirati svi pojmovi prostorne geometrije.


Primjer 8.3. U ovom se primjeru crtanje funkcije uz uporabu parametara/kliznika kojima se onda ispituju svojstva



Primjer 8.4. Ovdje se ilustrira osna simetrija. Komponiranjem osnih simetrija dobivaju se druge transformacije ravnine: translacija, rotacija, centralna simetrija i nova osna simetrija.



Primjer 8.5. Ovdje se ilustriraju funkcijska preslikavanja pomoću dva vodoravna brojevna pravca. Komponiranjem dviju funkcija dobiva se nova treća funkcija. Koji uvjet mora biti zadovoljen da bi se mogla naći kompozicija?

3. Srednja škola

Razmotrimo neke elemente analitičke geometrije u svjetlu uočene činjenice u Primjeru 2.2. da je definicija skupa točaka ista, ali geometrijska je vizualizacija različita.

Razred: 1.

Primjer 1.1. U ovom primjeru prikazana je faktorizacija kvadratnog polinoma pomoću pravokutnih pločica, tj. geometrijski.




Primjer 1.2. U ovom primjeru prikazano je crtanje grafa funkcije i istraživanje uloge njegovih koeficijenata.


Primjer 1.3. U ovom se primjeru ilustrira komponiranje funkcija.




Primjer 1.4. U ovom se primjeru ilustriraju operacije s linearnim funkcijama. Mijenjanjem parametara dobivaju se različite funkcije. Dvoklikom miša otvara se kalkulator u kojem se mogu mijenjati zapisi funkcija i uz drukčiji izbor parametara. Uporabom Widgetsa mogu se mijenjati debljine i boje grafova.



Primjer 1.5. U ovom se primjeru crtanje funkcije uz uporabu parametara/kliznika kojima se onda ispituju svojstva



Primjer 1.6. U ovom primjeru prikazana je faktorizacija kvadratnog trinoma.


Primjer 1.7. Ovdje se ilustriraju funkcijska preslikavanja pomoću dva vodoravna brojevna pravca. Komponiranjem dviju funkcija dobiva se nova treća funkcija. Koji uvjet mora biti zadovoljen da bi se mogla naći kompozicija?

Razred: 2.

Primjer 2.1. U ovom se primjeru nalaze neki zadatci i rješenja iz udžbenika Matematika 2.





Primjer 2.2. U ovom se primjeru ilustrira rješavanje kvadratne jednadžbe.


Primjer 2.2.1. U ovom se primjeru ispituje poznavanje svojstava koeficijenata kvadratne funkcije.



Primjer 2.3. U ovom primjeru prikazano je crtanje grafa funkcije i istraživanje uloge njegovih koeficijenata.




Primjer 2.4. U ovom primjeru prikazano je crtanje grafa kvadratne funkcije i različiti oblici zapisa.




Primjer 2.5. U ovom se primjeru ilustrira potenciranje kompleksnih brojeva.



Primjer 2.6. U ovom se primjeru ilustrira komponiranje funkcija.




Primjer 2.7. U ovom se primjeru ilustriraju operacije s kvadratnim funkcijama. Mijenjanjem parametara dobivaju se različite kvadratne funkcije. Dvoklikom miša otvara se kalkulator u kojem se mogu mijenjati zapisi funkcija (osim kvadratnih mogu se upisati i eksponencijalna ili logaritamska funkcija) i uz drukčiji izbor parametara. Uporabom Widgetsa mogu se mijenjati debljine i boje grafova.


Primjer 2.8. U ovom se primjeru crtanje funkcije uz uporabu parametara/kliznika kojima se onda ispituju svojstva

Razred: 3.

Primjer 3.1. U ovom primjeru prikazano je crtanje grafa superelipse. Mijenjanjem vrijednosti parametara uočava se veza s otkrićem koje je Piet Heine nazvao superelipsa i njegova uporaba u dizajnu. Osim toga mogu se uočiti promjene i krivulje koje se dobiju mijenjanjem parametara a i b te eksponenta n.



Primjer 3.2. U ovom primjeru prikazano je crtanje grafa funkcije i istraživanje uloge njegovih koeficijenata.




Primjer 3.3. U ovom se primjeru ilustrira potenciranje i korijenovanje kompleksnih brojeva.




Primjer 3.4. U ovom se primjeru ilustriraju presjeci dvostrukog stošca ravninom. Rezultat su čunjosječice (konike: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola).



Primjer 3.5. U ovom se primjeru ilustrira analitika čunjosječica (kružnice, elipse, hiperbole i parabole). Mijenjanjem parametara dobivaju se grafovi krivulja. Istaknuta su dva položaja: centralni i translatirani.



Primjer 3.6. U ovom se primjeru ilustriraju prostorne koordinate: pravokutne, cilindrične i sferne.



Primjer 3.7. U ovom se primjeru ilustrira komponiranje funkcija.


Primjer 3.8. U ovom se primjeru ilustrira "nastajanje" grafa trigonometrijske funkcije.



Primjer 3.9. U ovom se primjeru ilustriraju operacije s trigonometrijskim funkcijama. Mijenjanjem parametara dobivaju se različite funkcije. Uporabom animacije dobivaju se "oživljeni" efekti naznačenih operacija. Dvoklikom miša otvara se kalkulator u kojem se mogu mijenjati zapisi funkcija i uz drukčiji izbor parametara. Uporabom Widgetsa mogu se mijenjati debljine i boje grafova.


Primjer 3.10. U ovom se primjeru ilustriraju formule pretvorbe. Mijenjanjem parametara dobivaju se različite funkcije. Uporabom animacije dobivaju se "oživljeni" efekti naznačenih formula pretvorbe (zbroja u umnožak, umnoška u zboj). Dvoklikom miša otvara se kalkulator u kojem se mogu mijenjati zapisi funkcija i uz drukčiji izbor parametara. Uporabom Widgetsa mogu se mijenjati debljine i boje grafova.



Primjer 3.10. U ovom se primjeru ilustrira crtanje funkcije uz uporabu parametara/kliznika kojima se onda ispituju svojstva.



Primjer 3.11. U ovom se primjeru ilustrira, simuliranjem gibanja opruge, klatna i loptice, harmonijsko gibanje opruge i klatna te prigušeno titranje.




Primjer 3.12. U ovom se primjeru ilustrira konstrukcija čunjosječice (konike: kružnice, elipse, hiperbole i parabole).

Razred: 4.

Primjer 4.1. U ovom primjeru prikazan je graf funkcije u pravokutnom i polarnom koordinatnom sustavu. Mijenjanjem vrijednosti u okvirima parametara moge se otkrivati uloge tih parametara na definiranje grafa. Dvoklikom na algebarski zapis funkcije otvara se kalkulator pomoću kojeg se može definirati neka druga funkcija.




Primjer 4.2. U ovom primjeru prikazano je crtanje grafa funkcije u koordinatnom sustavu. Mijenjanjem vrijednosti i zapisa funkcije dobivaju se različiti grafovi. Dvoklikom na algebarski zapis funkcije otvara se kalkulator pomoću kojeg se može definirati neka druga funkcija. U kalkulatoru, na dnu, nalazi se gumb "Equation" gdje se može izabrati algebarski oblik zapisivanja funkcije. Na taj se način mogu istražiti različite vizualizacije zadane funkcije. Ovaj, ali prethodni primjer, mogu se uporabiti i u 1., 2. i 3. razredu srednje škole. I u osnovnoj školi kad se poučavaju funkcije.




Primjer 4.2.a U ovom primjeru prikazano je crtanje grafa funkcije i istraživanje uloge njegovih koeficijenata.


Primjer 4.3. U ovom primjeru prikazan je Buffonov eksperiment određivanja vjerojatnosti događaja presjecanje igle horizontalnih pravaca u zadanom pravokutniku. Duljina igle i razmak između pravaca se može mijenjati kao i broj bačenih igli.




Primjer 4.4. U ovom se primjeru ilustrira tijelo koje nastaje rotacijom grafa funkcije oko osi apscisa.



Primjer 4.5. U ovom se primjeru ilustrira Gausova ravnina, potenciranje kompleksnih brojeva i kompleksna funkcija (Möbiusova transformacija).



Primjer 4.6. U ovom se primjeru ilustriraju kompleksni brojevi u eksponencijalnom zapisu tzv. Eulerovom zapisu. U 3D prikazu dobiva se Eulerova spirala. Tlocrt te spirale je realni dio kompleksnog broja ili u tlocrtnoj ravnini koja je Realna ravnina dobiva se graf funkcije kosinus. U Nacrtnoj ravnini ili Imaginarnoj ravnini dobiva se graf funkcije sinus. U Bokocrtnoj ravnini ili Gausovoj ravnini dobiva se kružnica.

U ovako vizualiziranim i prezentiranim projekcijama Eulerove spirale vidi se povezanost svih oblika zapisa kompleksnog broja.

Primjer 4.7. U ovom se primjeru ilustrira obujam tijela.




Primjer 4.8. U ovom se primjeru ilustrira potenciranje kompleksnih brojeva.


Primjer 4.9. U ovom se primjeru ilustrira komponiranje funkcija.



Primjer 4.10. U ovom se primjeru ilustriraju operacije s elementarnim funkcijama. Mijenjanjem parametara dobivaju se različite funkcije. Uporabom animacije dobivaju se "oživljeni" efekti naznačenih operacija. Dvoklikom miša otvara se kalkulator u kojem se mogu mijenjati zapisi funkcija (linearne, kvadratne, eksponencijalne, logaritamske, opće potencije) i uz drukčiji izbor parametara. Uporabom Widgetsa mogu se mijenjati debljine i boje grafova.


Primjer 4.11. U ovom se primjeru ilustriraju dokazi bez riječi koje je načinio Vašiček



Primjer 4.12. U ovom se primjeru ilustriraju Fourierov red.

4. Srednja škola 1

Trigonometrijska kružnica, trigonometrijske funkcije i inverzija

U ovom odjeljku razmotrit ćemo nekoliko temeljnih pojmova trigonometrije, kao što su trigonometrijska kružnica i trigonometrijske funkcije. Vizualizirat ćemo te kružnice i funkcije definirane na njima. Razmotrit ćemo i inverziju na kružnici.

Ovaj je odjeljak iz knjige Geometrija prirode autora Petra Mladinića i Nikol Radović.

Knjiga je izravna veza i asocijacija na geometrijske oblike u prirodi (odakle potječe i naziv Geometrija prirode) i namijenjena je: svim ljubiteljima matematike, darovitim učenicima (svih uzrasta), studentima, nastavnicima, roditeljima, gdje je ilustracijama prikazano kako se matematika najviših razina može uspješno poučavati najmlađoj djeci, a ne samo srednjoškolcima ili studentima.

Geometrija prirode je posvećena radu s djecom na 5. razini (najvišoj) van Hieleove teorije kao i najvišoj razini Bloomove taksonomije. Van Hieleova teorija ukazuje da učenici u redovnom školovanju ne mogu stići na 5. razinu dok im ova knjiga to i omogućuje; uz uporabu računala i računalnog programa dinimične geometrije Sketchpad® dostići i tu neslućenu razinu znanja. 5. razina van Hielea u teoriji je naznačena kao: Strogost • objekt mišljenja: deduktivni aksiomatski sustavi geometrije • proizvod mišljenja: usporedba različitih aksiomatskih sustava geometrije (euklidske i neeuklidske geometrije). Posebno je napisan odjeljak o Gielisovoj formuli kao poopćenju Pitagorine formule i njezinoj "vezi" s prirodom (biologijom!) i trigonometrijom.

Postupno, sustavno i vrlo detaljno su objašnjeni pojmovi, a uz vrlo veliki broj primjera i zadataka olakšava se i omogućuje uspješno apsolviranje potpuno novog matematičkog pogleda na uobičajene geometrijske procedure.

Sadržaj knjige se bavi proučavanjem i vizualizacijom (uz uporabu programa Sketchpad®) definicije udaljenosti i njezinim poopćavanjem. Vizualizirani su svi pojmovi elementarnih geometrijskih objekata u ravnini i njihove definicije u različitim geometrijama sukladno definiciji udaljenosti u toj geometriji. Sustavno su prikazane krivulje drugog reda, kao i trigonometrijske funkcije i njihovi grafovi u tim drugim/različitim geometrijama, jer se u školstvu Republike Hrvatske kontinuirano naglašava usporedba euklidske geometrije s drugim geometrijama.

Trigonometrijska kružnica i trigonometrijske funkcije

Trigonometrijska kružnica je kružnica sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava. Kad joj je polumjer $r=1$, zove se jedinična trigonometrijska kružnica.

Svakom realnom broju $x$ pridružena je jedna točka jedinične trigonometrijske kružnice na sljedeći način:

1. Svakom realnom broju $x$ pridružena je, na uobičajeni način, točka jednog (brojevnog) pravca. U koordinatnom sustavu taj brojevni pravac $x$-ova vertikalna je tangenta jedinične trigonometrijske kružnice u točki $(1,0)$.
2. Točka vertikalnog tangencijalnog brojevnog pravca kojoj je pridružen broj $0$ preslikava se u točku $(1,0).$
3. Dio brojevnog pravca s pozitivnim brojevima namata se na jediničnu kružnicu u pozitivnom smjeru, tj. u smjeru suprotnom kretanju kazaljke sata.
4. Dio brojevnog pravca s negativnim brojevima namata se na jediničnu kružnicu u negativnom smjeru, tj. u smjeru kretanja kazaljke.

Ovakvo preslikavanje realnih brojeva na jediničnu trigonometrijsku kružnicu naziva se eksponencijalnim namatanjem.

Dakle, svakom realnom broju $x$ tangencijalnog brojevnog pravca eksponencijalnim namatanjem pridružena je točka $T(x_T,y_T)$ trigonometrijske kružnice.

Sinus realnog broja definira se kao ordinata točke na jediničnoj trigonometrijskoj kružnici, tj. vrijedi $y_T=\sin(x).$

$$\displaystyle \sin : \mathbb{R} \rightarrow [-1,1], x \mapsto y_T=\sin (x)$$

Sinusoida je grafički prikaz vrijednosti ordinata.

Kosinus realnog broja definira se kao apscisa točke na jediničnoj trigonometrijskoj kružnici, tj. vrijedi $x_T=\cos(x).$

$$\displaystyle \cos : \mathbb{R} \rightarrow [-1,1], x \mapsto x_T=\cos (x)$$

Kosinusoida je grafički prikaz vrijednosti apscisa.

U E-geometriji prikažimo eksponencijalno namatanje.

Prikažimo jedan period E-sinusoide i E-kosinusoide.

Nacrtajmo u M-geometriji jediničnu trigonometrijsku kružnicu i eksponencijalno namatanje.

Prikažimo jedan period M-sinusoide i M-kosinusoide.

Nacrtajmo jedan period E-sinusoide i M-sinusoide u koordinatnom sustavu u kojem su istaknute dvije osi apscisa (E-os i M-os).

Možete li uočiti kako se "ponašaju" jedna u odnosu na drugu? Vrijedi li to isto za E-kosinusoidu i M-kosinusoidu? Nacrtajte!

Samo od sebe nameće se pitanje postoje li i druge jedinične trigonometrijske kružnice, tj. kružnice u nekoj drugoj metrici?

Znamo da su udaljenosti točaka $O$ i $T$ s koordinatama $O(0,0)$ i $T(x,y)$ u M-geometriji i E-geometriji definirane kao

$$d_M(O,T)=|x|+|y|$$ i $$d_E(O,T)=\sqrt{x^2+y^2}=(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}}=(|x|^2+|y|^2)^{\frac{1}{2}}.$$

Analogija nam ovdje sugerira da pokušamo općenito definirati udaljenost kao

$$d_P(O,T)=\left(|x|^p+|y|^p\right)^{\frac{1}{p}}, \textrm{gdje je} \ p\in\mathbb{R}^{+}. $$

Nacrtajmo nekoliko P-kružnica i P-sinusoida. Razmotrimo slučajeve kad je $1\ \textrm{<}\ p\ \textrm{<}\ 2,$ $p\ \textrm{>}\ 2$ i $0\ \textrm{<}\ p\ \textrm{<}\ 1.$

Za $p=1.17$ i $p=1.41$ dobivamo:

Za $p=3$ i $p=4.7$ dobivamo:

Za $p=0.45$ i $p=0.7$ dobivamo:

Što se može uočiti o P-kružnicama, a što o P-sinusoidama?

Zadatak 6.1. Nacrtajte P-kosinusiode i P-tangensoide ako je:

1. $p=1,$
2. $p=3.5,$
3. $p=0.7$.

Prvi je ove kružnice, kao krivulje, $1818.$ godine razmatrao francuski matematičar Gabriel Lamé (1795. - 1870.) i poznate su kao Laméove krivulje.

Formula za udaljenost točaka u P-geometriji daje nam mogućnost da ponovo razmotrimo sve probleme koje smo u ovom tekstu već razmotrili. To ostavljamo zainteresiranom čitatelju.

Važan dio u ovakvom pristupu geometriji i definiranim metrikama sljedeći je odjeljak.

Od Pitagore i Laméa do Gielisa

Analogija koju se uoči razmatrajući udaljenost točaka $O$ i $T$ u E-geometriji i M-geometriji daje ideju za udaljenost bilo kojih dviju točaka $A(x_1,y_1)$ i $B(x_2,y_2)$ u P-geometriji, tj. vrijedi:

$$|AB|= \begin{cases} |x_1-x_2|^1+|y_1-y_2|^1, &\dots \ \text{M-geometrija,}\\ (|x_1-x_2|^2+|y_1-y_2|^2)^{\frac{1}{2}}, &\dots \ \text{E-geometrija,}\\ (|x_1-x_2|^p+|y_1-y_2|^p)^{\frac{1}{p}}, p\in\mathbb{R}^{+}&\dots \ \text{P-geometrija.} \end{cases} $$

U Laméovu jednadžbu jedinične trigonometrijske kružnice $|x|^p+|y|^p=1$ "uvedimo" parametre $a$ i $b$ prema analogiji s jediničnom kružnicom $x^2+y^2=1$ iz E-geometrije kad kružnica "prelazi" u elipsu

$$\left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2=1.$$

Dakle, dobit ćemo Laméovu P-elipsu

$$\left|\frac{x}{a}\right|^p+\left|\frac{y}{b}\right|^p=1, a,b\in\mathbb{R}\setminus\{0\}, p>0. $$

Parametar $a$ zove se velika poluos, a $b$ mala poluos.

Zadatak 6.1. Nacrtajmo P-elipsu za $p=2.5, a=6, b=5$ i $p=2.5, a=3, b=2$

Ove je P-elipse, ne poznavajući Laméov rad, "otkrio" danski pjesnik, izumitelj i dizajner Piet Heine (1905. -- 1966.) godine 1959. dizajnirajući Sorgels Torg u Stockholmu, a kasnije i stol s $p=2.5, a=3$ i $b=2.$ Nazvao ju je superelipsa.

Zapišimo Laméovu P-elipsu u polarnom obliku. Znamo da je "veza" između Kartezijevog i polarnog koordinatnog sustava dana s $x=r \cos \varphi, y=r \sin \varphi $ (v. sl. 6.11.).

Uvrstimo li ove koordinate u

$$\left|\frac{x}{a}\right|^p+\left|\frac{y}{b}\right|^p=1$$ dobivamo %$$\left|\frac{r\cos\varphi}{a}\right|^p+\left|\frac{r\sin\varphi}{b}\right|^p=1,$$

odnosno

$$r^p\left(\left|\frac{\cos\varphi}{a}\right|^p+\left|\frac{\sin\varphi}{b}\right|^p\right)=1,$$

odnosno

$$r^p=\left(\left|\frac{\cos\varphi}{a}\right|^p+\left|\frac{\sin\varphi}{b}\right|^p\right)^{-1}.$$

Nakon potenciranja s $\frac{1}{p}$ dobivamo trigonometrijski zapis $$r=\left(\left|\frac{\cos\varphi}{a}\right|^p+\left|\frac{\sin\varphi}{b}\right|^p\right)^{-\frac{1}{p}}.$$

Korak dalje u poopćavanju P-elipse učinio je belgijski biolog i matematičar Johan Gielis (1962.) koji je 2003. godine formulirao tzv. Gielisovu superformulu. Danas se ta formula korektnije zove Gielisova formula.

Gielis je kao vrhunski biolog proučavao i poznavao brojne oblike živog i neživog u prirodi (u mikro i makro svijetu).

Ilustrirajmo neke oblike kako bismo dobili dojam raznolikosti oblika.

Iz biljnog svijeta evo nekoliko cvjetova:

Iz morskog svijeta:

Iz mikrosvijeta:

Iz fosilnog svijeta:

Iz nežive prirode (snijeg):

Širenje "valova" u antifrizu:

Gielis je shvatio da je sve ove oblike moguće opisati jednom formulom. Poznavajući Pietov rad, a posebice Laméov, dobio je ideju što treba učiniti.

"Napustio" je ideju da su eksponenti jednaki i uveo je tri eksponenta $n_1, n_2$ i $n_3.$ "Uveo" je i parametar $\displaystyle\frac{m}{4}$ dobivši tako više rotacijskih simetrija oko ishodišta $O$ koordinatnog sustava. Jednom riječju, poopćio je Laméovu formulu i dobio formulu kojom se mogu nacrtati različiti oblici u prirodi:

$$r=\left(\left|\frac{\cos\left(\frac{m}{4}\varphi\right)}{a}\right|^{n_2}+\left|\frac{\sin\left(\frac{m}{4}\varphi\right)}{b}\right|^{n_3}\right)^{-\frac{1}{n_1}}, a, b, n_1 \in\mathbb{R}\setminus\{0\}, n_2, n_3\in\mathbb{R}.$$

Razmotrimo/nacrtajmo nekoliko primjera u kojima je $a=b$.

Evo krivulje s tri i četiri "vrha"

te s pet i sedam "vrhova".

Može li oblik morske zvijezde (v. sl. 6.14.) poslužiti za definiranje trigonometrijskih funkcija? Ako može, onda ih nacrtajte!

Evo G-sinusoide za morsku zvijezdu.

Zadatak 6.2. Nacrtajte nekoliko G-sinusoida i G-kosinusoida definiranih krivuljama na sl. 6.12. i 6.13.

Imamo dovoljno argumenata za tvrditi da svaka Gielisova zatvorena krivulja može poslužiti za definiranje trigonometrijskih funkcija.

Za parametre $a=b=1, m=4, n_1=n_2=n_3=1$ i $a=b=1, m=4, n_1=n_2=n_3=1000$ Gielisova formula daje kvadrate, a za $a=b=1, m=0, n_1=n_2=n_3=1$ i $a=b=1, m=0, n_1=n_2=n_3=1000$ kružnicu (v. sl. 6.16.).

Dakle, u Gielisovoj formuli nalaze se E-metrika, M-metrika i P-metrika. Ona je poopćenje ovih metrika.

Gielis je "kombinirao" različite ravninske oblike i dobio, primjerice, sljedeći oblik:

Možemo reći da je Gielisova formula {\textcolor{blue}{univerzalna definicija metrike u ravnini}}.

Gielis ju je nadogradio (kao što je i u ostalim metrikama učinjeno) trećom koordinatom i dobio formulu za udaljenost u prostoru.

To sad nećemo razmatrati jer izlazi iz okvira ove knjižice, ali radi ilustracije ovdje dajemo neke prikaze tijela u prostoru.

Gielis je, nadalje, predložio da se njegova formula (GF) zbroji, pomnoži ili komponira s nekom elementarnom funkcijom ili kompozicijom elementarnih funkcija $f(\theta)$, tj. definirao je

$$r=f(\theta)\cdot \textrm{GF}.$$

Kako bismo što bolje ilustrirali njegovu ideju, vizualizirat ćemo različite kombinacije parametara i funkcija.

Neka su parametri $m=3, a=b=1, n_1=n_2=n_3=1$, $n_4=0.20$, $k_1=7.13$; $m=5, a=b=1, n_1=n_2=n_3=1$, $n_4=0.20$, $k_1=7.13$; $m=10, a=b=1, n_1=n_2=n_3=1$, $n_4=0.20$, $k_1=7.13$ te funkcija $f(\theta)=e^{\left(\left| \frac{1}{k_1}\cos\left( \frac{m}{2}\theta \right) \right|^{n_4} \right)}$ (v. sl. 6.19.).

Evo ilustracije te njegove ideje za parametre $m=4, a=b=1, n_1=n_2=n_3=n_4=1$, $k_1=0.2$, $k_2=1$ i $k_2=2$ te funkciju $f(\theta)=\ln \left(\left| \frac{1}{k_1}\cos\left( \frac{m}{k_2}\theta \right) \right|^{n_4} \right)$ (v. sl. 6.20.).

Evo ilustracije te njegove ideje za parametre $m=15, a=0.3, b=0.2, n_1=n_2=n_3=1, n_4=0.2$, $k_1=200$, $m=20, a=0.3, b=0.1, n_1=n_2=n_3=1$, $n_4=0.2$, $k_1=200$ te funkciju $f(\theta)=\theta+ \left(\left| \frac{1}{k_1}\cos\left( \frac{m}{2}\theta \right) \right|^{n_4} \right)$ (v. sl. 6.21.).

Gielis je uspješno istražio i definirao metriku niza bioloških vrsta (biljaka, školjki itd.) kao i neživih (kristala, pahuljica snijega itd.).

Njegovu bismo formulu mogli nazvati i univerzalnom metrikom prirode.

Grafovi trigonometrijskih funkcija

U ovom odjeljku razmotrit ćemo grafove definirane istom procedurom koju smo definirali na stranici 47., ali na temeljnim objektima različitima od E-kružnice. Raspravit ćemo određene aspekte tih "sinusoida" i pokušati povezati nekoliko poznatih elementarnih činjenica.

Definiranjem i istraživanjem eksplicitno ćemo ilustrirati kako se na primjeru istraživanja sinusoide analogijom i poopćavanjem mogu kreativno i uspješno istraživati različite pretpostavke i donositi zaključci.

Dakle, točki na temeljnom objektu u pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu pridružene su koordinate (apscisa i ordinata) koje ćemo i sad nazvati kosinus i sinus.

a) E-geometrija

Ograničit ćemo se samo na definiranje i istraživanje sinusa. Kosinus se dobiva na isti način pomoću apscise točke na temeljnom objektu.

U traženju odgovora na postavljeno pitanje razmotrimo najprije neke "jednostavnije" oblike. Pogledajmo sljedeće primjere.

Kvadrat i pravokutnik

Primjer 6.2. Neka je temeljni objekt kvadrat. Prikaz trigonometrijske funkcije sinusa prikazan je idućim grafom.

Primjer 6.3. Neka je temeljni objekt pravokutnik. Prikaz trigonometrijske funkcije sinusa bit će "rastegnut".

Uočite: graf ovisi i o položaju stranica kvadrata prema koordinatnim osima.

Ovo je sinusoida iz M-geometrije!

Pravilni peterokut

Primjer 6.4. Neka je temeljni objekt pravilni peterokut. Sinusoida je prikazana idućim grafovima.

Graf ima "grubi" oblik klasične sinusoide (definirane kružnicom) i opet ovisi o položaju peterokuta, tj. o tome ima li jednu stranicu paralelnu ili ne s jednom koordinatnom osi.

Pravilni šeterokut

Primjer 6.5. Neka je temeljni objekt pravilni šesterokut. Prikaz trigonometrijske funkcije sinusa prikazan je idućim grafom.

Graf se "profinjuje" povećanjem broja stranica. To se otkriva usporedbom ove sinusoide s prethodnim sinusoidama.

Na opisani način mogu se razmotriti, primjerice, tetivni i tangencijalni četverokut, bilo koji poligon - konveksni ili nekonveksni te ostali ravninski objekti.

Tetivni i tangencijalni mnogokut

Primjer 6.6. Neka je temeljni objekt: a) tangencijalni, b) tetivni četverokut. Prikaz trigonometrijske funkcije sinusa na tangencijalnom četverokutu prikazan je idućim grafom. (Slučaj b) ostavljamo čitatelju za vježbu.)

U ovom slučaju dobiva se (po dijelovima) više ili manje razlomljeni graf u kojemu se naslućuje sinusoida definirana na kružnici.

Poligon

Primjer 6.7. Neka je temeljni objekt nekonveksni deseterokut. Prikaz trigonometrijske funkcije sinusa prikazan je idućim grafom.

Ovdje se lijepo može uočiti kako se graf ponaša na nekonveksnim dijelovima poligona.

Objekti u ravnini

Ako se za ishodišnu točku temaljnog objekta u ravnini uzme točka koja nije u ishodištu koordinatnog sustava (primjerice, ako postoji, središte opisane ili upisane kružnice), onda se dobiva graf koji je translatiran duž osi ordinata za veličinu ordinate te točke.

U slučaju da se kao ishodišna točka izabere neka druga točka objekta, graf se mijenja, ali se i dalje naslućuje klasična sinusoida.

Elipsa

Pogledajmo graf koji nastaje kad se za temeljni objekt uzme elipsa.

Elipsu možemo zamisliti da nastaje dilatacijom ili kontrakcijom kružnice duž koordinatne osi. Naslućujemo da će se nova sinusoida isto tako ponašati: bit će dilatirana ili kontrahirana duž iste koordinatne osi.

Normiranje objekta i grafa

U pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu zadana je središnja kružnica polumjera $r\neq 1$. Tu kružnicu zovemo i trigonometrijska kružnica.

Ovakva trigonometrijska kružnica (kao temeljni objekt) definira sinusoidu.

Ako ordinatu $y_T$ točke $T$ na kružnici podijelimo s udaljenošću $|\overline{OT}|$ točke $T$ od ishodišta koordinatnog sustava, tj. s duljinom polumjera $r$, dobit ćemo ordinatu točke na jediničnoj trigonometrijskoj kružnici. Ta nova normirana ordinata definira normiranu sinusoidu (v.sl. 6.31.).

Na isti način postupimo s objektima različitim od kružnice. Kad ordinatu točke $T$ na objektu kojom definiramo graf podijelimo s udaljenošću točke $T$ od ishodišta koordinatnog sustava, dobit ćemo ordinatu kojom definiramo normirani graf.

Točke $T_1$ i $T_2$ s različitih pravilnih peterokuta definiraju isti normirani graf (v. sl. 6.32.).

Iz prikaza sa slike 6.33 može se zaključiti da izbor poligona kao temeljnog objekta rezultira uvijek istim normiranim grafom.

"Pozadina" i neka pitanja

Možemo, dovoljno uvjerljivo, zaključiti da će grafovi definirani na pravilnim poligonima "težiti" klasičnoj sinusoidi. U našem se zaključivanju zrcali zamišljanje da pravilni poligoni povećanjem broja stranica oblikom postaju sve zaobljeniji i da je kružnica granični "poligon".

Slično zaključivanje može se prihvatiti i za ostale objekte.

Normirani graf je, bez obzira koliko je bio "grub/kvrgav" prije normiranja, uvijek klasična "glatka" sinusoida nakon normiranja.

Na slici 6.35. početak polumjera $r$ nije u ishodištu koordinatnog sustava nego u točki $S$. Tad jedinična sinusoida nije potpuno "glatka". "Spusti" li se točka $S$ na os apscisa, tj. u nožište visine iz točke $S$ na os apscisa, dobije se normirana sinusoida.

U svim ovim slučajevima u pozadini je isti račun.

Uočimo pravokutni trokut $TOT_x$, gdje je točka $T$ točka na objektu, $T_x$ njezina ortogonalna projekcija na os apscisa i $O$ ishodište koordinatnog sustava. Neka su duljine $|\overline{OT}|=r,$ $|\overline{OT_x}|= x_T$ i $|\overline{TT_x}|= y_T$ te neka je mjera kuta $\angle T_xOT=\theta.$

Dakle, imamo omjer duljina stranica pravokutnog trokuta $$\frac{|\overline{TT_x}|}{|\overline{OT}|}=\frac{y_T}{r}.$$

Ovo je trigonometrijski omjer sinusa u pravokutnom trokutu

$$\displaystyle \frac{y_T}{r}=\sin\theta $$

koji "najavljuje" da će graf biti sinusoida.

Na kraju razmatranja nameće se nekoliko važnih pitanja. Kako sve ovo izgleda za kosinus? Što je s tangensom? Kako izgleda njegov graf definiran na ovim temeljnim objektima? Što se događa ako umjesto normiranja/dijeljenja s faktorom $r$ množimo ordinatu točke $T$ na objektu?

Ova pitanja traže novo istraživanje utemeljeno na iskustvu iz razmatranih postupaka. No, to je sadržaj za neko drugo istraživanje ili zadatke.

b) M-geometrija i P-geometrija

Istraživanje koje smo proveli u E-geometriji za vježbu vam ostavljamo da učinite u M-geometriji kao i u P-geometriji.

Pretpostavljamo da ćete doći do istih ili vrlo sličnih zaključaka kao u E-geometriji.

c) G-geometrija

Mijenjanjem realnih koeficijenata $a, b, m_1, m_2, n_1, n_2, n_3$ dobivaju se različiti oblici/objekti. Uporabom Gielisovih krivulja dobivaju se različite sinusoide (v.sl. 6.37. i 6.38.).

Pogledajmo kako se ponašaju sinusoide definirane na Gielisovim međusobno inverznim krivuljama. (Inverzija se dobiva kad su parametri $n_1$, tj. eksponenti $\frac{1}{n_1}$ i $-\frac{1}{n_1}$ suprotnog predznaka!)

Gielisova je formula poslužila generiranju krivulja $f(x)$ i $g(x)$ koje su međusobno inverzne te njihovih sinusa. Mijenjajući parametre mogu se dobiti različite krivulje.

Vidi se da svi ti grafovi imaju više ili manje "grubi" oblik sinusoide na koju smo navikli.

Zadatak 6.3. Istražite kako će izgledati normirani graf G-sinusoide.

Na stranici 55. na slici 6.15. nacrtana je G-sinusoida morske zvijezde. Evo normirane sinusoide za sličnu morsku zvijezdu.

Inverzni objekti

U Dodatku B naznačen je pojam inverznih objekata, svojstva i primjeri preslikavanja odabranih objekata.

Definirajmo inverzno preslikavanje.

Dana je kružnica $k$ sa središtem u točki $O$ polumjera $r$. Za svaku točku $T$ zrake $OT$ (osim središta $O$) inverzija $T$ s obzirom na $k$ točka je $T'$ takva da je

$$\displaystyle |OT|\cdot |OT'|= r^2, \ T'\in \ \textrm{zrake}\ OT $$

Sukladno analogiji o udaljenosti točaka na stranici \pageref{PM}. i udaljenosti u G-geometriji na stranici 68., razmotrimo kako se točka $T$ preslikava u inverznu točku $T'$.

U E-geometriji nacrtajmo/konstruirajmo inverznu točku $T'$ ako je točka $T$ izvan jedinične kružnice, kao i kad je unutar nje.

Preslikajmo pravac $p$ i neku kružnicu.

U slučaju jedinične kružnice ($r=1$) dobivamo da je $\displaystyle |OT'|=\frac{1}{|OT|}$, odnosno u E-geometriji

$$\left|OT'\right| = \left(|x|^2+|y|^2\right)^{-\frac{1}{2}}. $$

U slučaju jedinične kružnice ($r=1$) u M-geometriji dobivamo da je

$$\left|OT'\right| = \left(|x|+|y|\right)^{-1}. $$

U slučaju jedinične kružnice ($r=1$) u P-geometriji dobivamo da je

$$\left|OT'\right| = \left(|x|^p+|y|^p\right)^{-\frac{1}{p}}. $$

U slučaju G-geometrije dobivamo

$$|OT'|=\left(\left|\frac{\cos\left(\frac{m}{4}\varphi\right)}{a}\right|^{n_2}+\left|\frac{\sin\left(\frac{m}{4}\varphi\right)}{b}\right|^{n_3}\right)^{\frac{1}{n_1}}, a, b, n_1 \in\mathbb{R}\setminus\{0\}, n_2, n_3\in\mathbb{R}. $$

Očito je da su "vanjski" eksponenti inverznih objekata u ovim geometrijama suprotni brojevi.

Nacrtajmo inverzne slike kružnice. Na slikama su objekti plave boje, a njihovi inverzi crvene.

Evo kružnice u E-geometriji (v. sl. 6.42.).

Evo kružnice u M-geometriji (v. sl. 6.43.).

Pogledajmo kružnice u P-geometriji za različite vrijednosti parametra (v. sl. 6.44.).

Za $p=0.7$ dobivamo:

Za $p=3$ dobivamo:

Za $p=10$ dobivamo:

Evo dvaju Gielisovih "cvjetova".

Na slici 6.45. su cvjetovi s parametrima $m=5, a=b=1, n_1=n_2=n_3=1, n_4=0.2, k_1=17.04$ i $m=10, a=1.5, b=0.8, n_1=2, n_2=1, n_3=2, n_4=1, k_1=7.04$.

Na stranici 52. nalazi se fotografija cvijeta huernije. Skicirajmo taj cvijet i nacrtajmo njegov inverz. Na slici se može uočiti da latice imaju svoj inverz.

Nacrtajmo inverze cvjetova primorskog žilja ( Pancratium maritimum) i jesenskog gorocvijeta (Adonis autumnalis) koji su naše ugrožene biljke.

Zadatak 6.4. Nacrtajte inverz cvijeta vršačke sljezolike (Hibiscus africanus).

Čitatelju ostavljamo za vježbu nacrtati inverzne slike ostalih objekata (elipse, hiperbole, parabole, $\dots$).

S istim parametrima imamo različite vizualizacije inverznog prikaza. Promjena radijusa kružnice inverzije uzrokuje različite vizualizacije istog "objekta". Plavi objekt je izvoran, a crvena boja je boja inverza.

Plavi objekti vizualiziraju se pomoću Gielisove formule, a crveni (inverzije) tako da stavimo eksponent $\frac{1}{n_1}$ umjesto $-\frac{1}{n_1}$, to jest, upišemo suprotni eksponent. (Množenje inverznih elemenata uvijek je jednako jediničnom elementu.)

Evo nekoliko primjera kojima ilustriramo tu tvrdnju.

   

5. Srednja škola 2

Kompleksna funkcija

Primjer U ovom se primjeru ilustrira domena, kodomena i pridruživanje definirano kompleksnom funkcijom na posebno odabranim skupovima točaka/objekata

Nacrtna geometrija

Primjer 1. U ovom se primjeru nalaze radovi iz Nacrtne geometrije učenika Josipa Antoliša.

Simulatori

Primjer 1. U ovom se primjeru nalazi prikaz rada (simulator) motora s unutarnjim sagorijevanjem.




Primjer 2. U ovom primjeru prikazan je optički trostrana prizma i kapljica vode na kojoj se bijela svjetlost "razbija"na sastavne dugine boje ili se monokromatska zraka svjetlosti lomi.

Informatika/matematika

Primjer 1. U ovom se primjeru nalaze Booleova algebra i logički sklopovi.

Gielis

Primjer 1. U ovom se primjeru nalaze grafovi generirani pomoću Gielisove formule.

Inverzija

Primjer 1. U ovom se primjeru nalaze inverzije.

Superistraživanje

Primjer 1. U ovom se primjeru nalaze datoteke za istraživanje.

6. Literatura

Popis literature

1. Adam, J. A. (2003): Mathematics in Nature}}, Princeton University Press, New York.
2. Antončić, N.; Špalj, E.; Volenec, V. (2006): Matematika 3, Školska knjiga, Zagreb
3. Brisbin, R.; Artola, P. (1985): Taxicab Trigonometry, Pi Mu Epsilon Journal. Vol.8, no. 2, 1980, p. 89-95.
4. Cajori, F. (2000): A History of Mathematics, AMS, Providence.
5. Cesarec, R. (1957): Analitička geometrija, Školska knjiga, Zagreb
6. Courant, R.; Robbins, H. (1941): What is Mathematics?, Oxford University Press, Zagreb.
7. Cook, T. A. (1979): TheCurves of Life, Dover, New York.
8. Divjak, C. (2000): Notes on Taxicab Geometry, KoG5. , p. 5-9. (hrcak.srce.hr/file/6534)
9. Gardner, M. (2001): The Colossal Book of Mathematics, W. W. Norton, New York.
10. Gielis, J. (2003): Inventig the Circle - The geometry of Nature, Geniaal bvba, Antwerpen.
11. Gielis, J. (2017): The Geometrical Beauty of Plants, Atlantis Press, Antwerpen.
12. Gielis, J. (2003): A generic geometric transformation that unifies a wide range of natural and abstract shapes, American Journal of Botany, 90 (3), page 333-338.
13. Gielis, J. (2010): Opći prirodni oblici, Zbornik radova IV. kongresa nastavnika matematike RH, str. 177 - 188.
14. Gielis, J.; Tavkelidze, I.; Ricci, P. E. (2012): Bulky Knots and Links Generated by Cutting Generalized Möbius-Listing Bodies, Zbornik radova V. kongresa nastavnika matematike RH, str. 185 - 196.
15. Gielis, J.; Tavkelidze, I.; Ricci, P. E. (2012): Veliki uzlovi i poveznice dobivene rezanjem generaliziranih Möbius-Listingovih tijela, Poučak 51, listopad 2012, (prijevod teksta iz Zbornika V. kongresa Nastavnika matematike RH).
16. Iny, D. (1984): Taxicab Geometry: Another Look at Conic Sections, Pi Mu Epsilon Journal. Vol.7, no. 2, 1984, p. 645-647.
17. Krause, E. F. (1986): Taxicab Geometry, Dover, New York.
18. Marković, Ž. (1947): Uvod u višu analizu, Nakladni zavod Hrvatske, Zagreb.
19. Mladinić, P. (2011): Grafovi trigonometrijskih funkcija: može li drukčije?, Poučak br. 46, lipanj 2011., str.16-25.
20. Özcan, M.; Ekmekçi, S.; Bayar, A. (2002): A note on the variation of the taxicab lengths under rotations, Pi Mu Epsilon Journal. Vol.11, no. 7, 2002, p. 381-384.
21. Papy, F. (1971): Les enfants et la mathématique, vol. 2, Marcel Didier, Bruxelles.
22. Papy, F. (1972): Les enfants et la mathématique, vol. 3, Marcel Didier, Bruxelles.
23. Papy, F.; Papy G. (1972): Dijete i grafovi, Školska knjiga, Zagreb.
24. Papy, F.; Papy G. (1973): Taximétrix, Hachette, Paris.
25. Polya, G. (1954): Mathematics and Plausible Reasoning, Princeton University Press, Princeton.
26. Polya, G. (2003): Matematičko otkriće, HMD, Zagreb.
27. Reihardt, C. (2005): Taxi Cab Geometry: History and Applications, TMME. Vol.2, no. 1, 2005, p. 38-64.
28. Reynolds, B. E.; Fenton, W. E. (2005): College Geometry Using The Geometer's Sketchpad, Key College Publishing, Emeryville.
29. Reynolds, B. E. (1980): Taxicab Geometry, Pi Mu Epsilon Journal. Vol.7, no. 2, 1980, p. 77-88.
30. Savelov, A. A. (1979): Ravninske krivulje, Školska knjiga, Zagreb.
31. Smith, D. E. (1958): History of Mathematics, Dover, New York.
32. Steketee, Jackiw, N.; Chanan, S. (2006): Priručnik s uputama za Sketchpad, Proven, Zagreb.
33. Swokowski, E. W.; Cole, J. A. (2008): Algebra and Trigonometry whit Analitic Geometry, Thomson, Belmont.
34. Thompson, K.; Dray T. (2000): Taxicab Angles and Trigonometry, Pi Mu Epsilon Journal. Vol.11, no. 2, 2005, p. 87-96.
35. Weisstein, E. W. (2009): CRC encyclopedia of mathematics}}, Chapman \& Hall/CRC, Boca Raton.
36. *** (2005): Crvena knjiga vaskularne flore Hrvatske, Ministarstvo kulture, Državni zavod za zaštitu prirode RH, Zagreb.
37. *** (2010): Nacionalni okvirni kurikulum, MZOŠ, Zagreb.
38. *** (2000): Standardi za nastavu matematike, HMD, Zagreb.

7. Bilješka o autorima

Životopisi

Petar Mladinić rođen je 1950. godine u Zagrebu, gdje je diplomirao matematiku na Prirodoslovno-matematičkom fakultetu.

Njegov rad ima dugotrajan učinak na poboljšanje odgojne i obrazovne prakse. Kao voditelj Nastavne sekcije Hrvatskoga matematičkog društva pridonosio je razvoju profesionalnih potreba učitelja/nastavnika, učenika i studenata u formalnome i neformalnom svakidašnjem i cjeloživotnom učenju i poučavanju.

Organizirao je više od 150 predavanja, mnogobrojne radionice, pokrenuo Ljetnu školu Ruđera Boškovića te Ljetnu školu V. gimnazije i HMD-a.

Za profesionalne potrebe učitelja, učenika i studenata utemeljio je četiri matematička časopisa: Poučak, Matka, Playmath i math.e te inicirao izdavanja knjiga u sklopu Male matematičke i Matkine biblioteke.

Napisao je stotinjak stručnih članaka, knjiga, gimnazijskih i drugih udžbenika, potaknuo prijevode i preveo nekoliko knjiga te organizirao na desetke radionica za nastavnike i učenike.

Pridonio je razvoju sustava obrazovanja u matematičkom području kao član Vijeća za nacionalni kurikulum i član Radne skupine za izradu Nacionalnoga okvirnog kurikuluma za matematiku.

Godine 2011. prijavio je projekt V. gimnazije IPAQ Peta - afirmativna nastava i inovativno poučavanje u gimnazijama u okviru HKO koji je realiziran s timovima četiriju gimnazija - iz Vukovara, Pakraca, Knina i Metkovića - te Prirodoslovno-matematičkim fakultetom iz Zagreba, uz sudjelovanje 1200 učenika i 1000 nastavnika.

Osmislio je i organizirao projekt dvogodišnjih okupljanja učitelja i nastavnika matematike (susreti i kongresi nastavnika matematike) na kojima su izlagali hrvatski nastavnici, kao i najugledniji strani stručnjaci iz područja nastave matematike.

Utemeljio je hrvatski ogranak TTT (Teacher Teaching Technology).

Utemeljio je i više godina vodio Geometrijske radionice HMD-a.

Kao nastavnik, a posebno kao ravnatelj V. gimnazije, aktivno je uključen u zajednicu, osnažuje demokratske procese, toleranciju i solidarnost među mladim ljudima i njihovim roditeljima.

U slobodnom vremenu bavio se i suđenjem rukometnih utakmica. Prvi je hrvatski međunarodni sudac koji je licencu postigao u Lijepoj Našoj. Od 1993. do 1999. godine bio je član tzv. elitne liste sudaca IHF-a (International handball federation). Sudio je utakmice na Olimpijadi u Atlanti, na 4 svjetska prvenstva, 3 europska, 2 azijska i na mediteranskim igrama. Sudio je završnu utakmicu japanskog prvenstva, kao i tuniskog. Također je sudio 7 završnih utakmica europskih kupova, utakmice na dva svjetska kupa te prvi europski super kup. Na obilježavanju 100 godina športa u Austriji sudio je utakmicu između ženskih reprezentacija Austrije i Svijeta. Ukupno je sudio na više od 250 međunarodnih utakmica.

Odlikovan je Spomenicom Domovinskog rata 1990. - 1992., odličjem Reda hrvatskog pletera i dobitnik je Državne nagrade Ivan Filipović za godinu 2015.

$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$

Nikol Radović rođena je 1963. godine u Sisku. Diplomirala je na Matematičkom odsjeku Prirodoslovno-matematičkog fakultetu Sveučilišta u Zagrebu, na smjeru Geometrija i topologija.

Godine 1997. magistrirala je na istome odsjeku s temom Reed-Müllerovi kodovi. Radi kao viša predavačica na Katedri za matematiku i fiziku Zavoda za geomatiku Geodetskog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu.

Područje autoričina znanstvenog i stručnog interesa je primjena matematike u drugim znanostima (kemija, kristolografija, fizika, geodezija i geomagnetizam). U razdoblju od 1992. do 2000. godine surađuje unutar projekta Ministarstva znanosti Studij separacije i analize, te strukture i svojstava materijala (1992. - 1996.) br 1 - 07 071 i Separacija, struktura i sustav metalnih materijala (1997. - 2000.), br. 124003, volonterski, na matematičkoj obradi podataka. Rezultat toga je velik broj objavljenih znanstvenih i stručnih radova u domaćim i stranim časopisima, kao i sudjelovanja na znanstvenim i stručnim skupovima.

Koautorica je udžbenika iz matematike za osnovnu školu (od 5. do 8. razreda), te knjige Nacrtna geometrija: Perspektiva - Mongeov postupak - Aksonometrija.

Aktivno sudjeluje u aktivnostima Nastavne sekcije Hrvatskog matematičkog društva u organiziranju i provedbi metodičkih radionica za učenike i nastavnike na popularizaciji matematike kao i primjeni tehnolgije u nastavi matematike, te u nizu projekata, primjerice Matematika uz pomoć računala i računalnog programa Sketchpad (2007. - 2010.) u organizaciji Hrvatskog matematičkog društva i CARNET-a kao jedan od koordinatora.

Sudjeluje u projektima Geopotencijal i geodinamika Jadrana (Geo ++Adria) (od 2007.), Joint Croatian - Hungarian Geomagnetic Repeat Station Survey and Joint Geomagnetic Field Model (od 2009.), Dynamic Number) u organizaciji National Science Foundation, U.S.A. i KCP Tehnologies (od lipnja 2010.), IPAQ Peta - projekt V. gimnazije i PMF-a u Zagrebu u okviru Further development and implementation of the Croatian Qualifications Framework (od lipnja 2013. do veljače 2015.) te Matematičkim znanstvenim izazovima na Večerima matematike u organizaciji HMD-a (od lipnja 2013.).

8. Apsolutna vrijednost

Jednadžbe s apsolutnom vrijednosti

U ovom ćemo odjeljku razmotriti rješavanje jednadžbi s apsolutnim vrijednostima koje su povezane s našom temom. Takve su jednadžbe, primjerice,

\begin{eqnarray*} a)& & |2x-7|=5,\\ b)& & |x|+|y|=5,\\ c)& & |x-2|+|y-3|+|x-8|+|y-6|=11,\\ d)& & |x-a|+|y-b|=|x-c|+|y-d|, a,b,c,d\in \mathbb{R},\\ e)& & \Big||x-2|+|y-3|-|x-8|-|x-6|\Big|=7,\\ f)& & |2x-3y-5|=|6x-4y+7|.\\ \end{eqnarray*}

Metodu rješavanja ovakvih jednadžbi rabimo pri rješavanju problema analitičke E-geometrije i M-geometrije. Metoda je utemeljena na jednostavnoj ideji da se rješavanje jednadžbi s apsolutnim vrijednostima svede na rješavanje ekvivalentnih jednadžbi bez apsolutne vrijednosti. To se postiže primjenom definicije apsolutne vrijednosti realnog broja.

Apsolutna vrijednost realnog broja $p$ jednaka je $$ |p|= \begin{cases} p, &\text{za $p > 0 $,}\\ 0, &\text{za $p= 0 $,}\\ -p, &\text{za $p \ \textrm{<}\ 0 $.} \end{cases} $$ Ilustrirajmo ovaj postupak na jednom primjeru.


Primjer 10.1. Odredimo sve brojeve $x$ i $y$ za koje vrijedi $$|x-2|+|y-3|+|x-8|+|y-6|=11.$$

Određivanje brojeva $x$ i $y$ možemo interpretirati kao određivanje uređenih parova $(x,y)$, tj. kao određivanje koordinata točaka u Kartezijevoj koordinatnoj ravnini. Ravninu ćemo podijeliti na određeni broj područja koja ćemo pretražiti. Granice tih područja određuju tzv. karakteristični pravci. Karakteristične pravce dobivamo kad svaki izraz s apsolutnom vrijednošću izjednačimo s nulom.

U našem primjeru dobivamo sljedeće karakteristične pravce:

• $ x-2=0 \Rightarrow x=2,$ (vertikalni pravac)
• $ y-3=0 \Rightarrow y=3,$ (horizontalni pravac)
• $x-8=0 \Rightarrow x=8,$
• $ y-6=0 \Rightarrow y=6.$

Koordinatna ravnina podijeljena je na 9 dijelova/područja (v. sl. 10.1.):

$1^{\circ}$ područje u kojemu su $ x\geq 8$ i $y\geq 6,$

$2^{\circ}$ područje u kojemu su $ 2\leq x\leq 8$ i $y\geq 6,$

$3^{\circ}$ područje u kojemu su $ x\leq 2$ i $y\geq 6,$

$4^{\circ}$ područje u kojemu su $ x\leq 2$ i $3\leq y\leq 6,$

$5^{\circ}$ područje u kojemu su $ 2\leq x\leq 8$ i $3\leq y\leq 6,$

$6^{\circ}$ područje u kojemu su $ x\geq 8$ i $3\leq y\leq 6,$

$7^{\circ}$ područje u kojemu su $ x\geq 8$ i $y\leq 3,$

$8^{\circ}$ područje u kojemu su $ 2\leq x\leq 8$ i $y\leq 3,$

$9^{\circ}$ područje u kojemu su $ x\leq 2$ i $ y\leq 3.$

Pretražimo ravninu po naznačenim područjima.

$1^{\circ}$ Ispitajmo ima li u prvom području točaka $(x,y)$ koje su rješenje zadane jednadžbe.

Za $ x\geq 8$ i $y\geq 6$ vrijedi:

\begin{eqnarray*} a)\ &|x-2|=x-2\ \ jer\ \ je &\ x-2 > 0,\\ b)\ &|y-3|=y-3\ \ jer\ \ je &\ y-3 > 0,\\ c)\ &|x-8|=x-8\ \ jer\ \ je &\ x-8 \geq 0,\\ d)\ &|y-6|=y-6\ \ jer\ \ je &\ y-6 \geq 0.\\ \end{eqnarray*}

Dakle, za $ x\geq 8$ i $y\geq 6$, tj. za točke iz prvog područja, jednadžba $$|x-2|+|y-3|+|x-8|+|y-6|=11$$ ekvivalentna je jednadžbi $$(x-2)+(y-3)+(x-8)+(y-6)=11,$$ odnosno $$y=-x+15.$$

Samo točke dijela pravca koje se nalaze u prvom području rješenja su zadane jednadžbe (v. sl. 10.2.).

$2^{\circ}$ U drugom području u kojemu su $ 2\leq x\leq 8$ i $y\geq 6$ dobivamo:

\begin{eqnarray*} a)\ &|x-2|=x-2\ \ jer\ \ je &\ x-2 \geq 0,\\ b)\ &|y-3|=y-3\ \ jer\ \ je &\ y-3 > 0,\\ c)\ &|x-8|=-(x-8)\ \ jer\ \ je &\ x-8 \leq 0,\\ d)\ &|y-6|=y-6\ \ jer\ \ je &\ y-6 \geq 0.\\ \end{eqnarray*}

Zadana jednadžba ekvivalentna je jednadžbi $$(x-2)+(y-3)+(-(x-8))+(y-6)=11,$$ odnosno $$y=7.$$

Samo točke dijela horizontalnog pravca koje se nalaze u prvom području rješenja su zadane jednadžbe (v. sl. 10.3.).

$3^{\circ}$ Za $ x\leq 2$ i $y\geq 6$ dobivamo dio kosog pravca $y=x+5.$

$4^{\circ}$ Za $ x\leq 2$ i $3\leq y\leq 6$ dobivamo dio vertikalnog pravca $x=1.$

$5^{\circ}$ Za $ 2\leq x\leq 8$ i $3\leq y\leq 6$ dobivamo da je $9=11.$ To znači da u ovom području nema točaka čije koordinate zadovoljavaju zadanu jednadžbu.

$6^{\circ}$ Za $ x\geq 8$ i $3\leq y\leq 6$ dobivamo dio vertikalnog pravca $x=9.$

$7^{\circ}$ Za $ x\geq 8$ i $y\leq 3$ dobivamo dio kosog pravca $y=x-6.$

$8^{\circ}$ Za $ 2\leq x\leq 8$ i $y\leq 3$ dobivamo dio horizontalnog pravca $y=2.$

$9^{\circ}$ Za $ x\leq 2$ i $ y\leq 3$ dobivamo dio kosog pravca $y=-x+4.$

Nacrtajmo sve ove dijelove pravaca (v. sl. 10.4.).

Dakle, samo točke ove figure rješenja su jednadžbe $$|x-2|+|y-3|+|x-8|+|y-6|=11.$$

Na isti se način mogu riješiti i ostale, primjerice, nabrojene jednadžbe. To ostavljamo čitatelju za vježbu! Napomenimo da su u primjeru f) dva kosa karakteristična pravca i da oni dijele ravninu na četiri područja (koja treba pretražiti)!

9. Lokus

Lokus: sintetički i analitički aspekt

Jedna od "pametnih" tehnologija je software dinamične geometrije Sketchpad. To je računalni program koji je prvenstveno namijenjen učenju i poučavanju. Osmislio ga je Nick Jackiw za izdavačku kuću Key Curriculum Press (http://www.keypress.com).

Program omogućuje nastavnicima i učenicima da im računalo bude pomoć u predavanju i učenju, a ne samo alat za brže i preciznije izvođenje nekih operacija.

Koja je temeljna značajka Sketchpada?

To je dinamični program. To znači da odnosi ostaju nepromijenjeni kad konstruirani objekt "povlačimo" po ekranu, kada mijenjamo duljinu neke stranice, veličinu kuta i slično. Primjerice, ako nacrtamo neki trokut i konstruiramo mu opisanu kružnicu, pa zatim nacrtani trokut transformiramo, onda pri svim transformacijama kružnica i dalje ostaje opisana. Na taj smo način definirali metodu za ispitivanje trokuta i njemu opisane kružnice, što u klasičnom slučaju nije moguće. Ovisno o uzrastu, učenici mogu proučavati položaj središta opisane kružnice u ovisnosti o vrsti trokuta ili istraživati odnos duljina stranica trokuta, njegove površine i polumjera opisane kružnice, kao i druge slične probleme.

Sketchpadom se može nacrtati graf bilo koje elementarne funkcije. Osobito je pogodan za crtanje grafova funkcija u kojima se pojavljuju parametri. Mijenjanjem parametara mijenja se i graf funkcije, pa učenici jednostavno uočavaju promjene do kojih dolazi mijenjenjem veličina parametara. To što vide može ih ohrabriti da i formalno dokažu.

Koncept/ideja koordinata omogućava da se geometrijskim objektima pridružuju algebarski objekti. Moguće je i obrnuto, algebarskim objektima pridružiti odgovarajuće geometrijske objekte. Ako se to ima na umu, onda se Sketchpad vrlo kreativno i efikasno može uporabiti za vizualizaciju, proučavanje i istraživanje algebre. Na ovaj se način Sketchpad, od primarno geometrijskog računalnog programa, razvio u računalni program opće namjene u matematici. Pitanje uporabe Sketchpada u nastavi matematike pitanje je razine i odabira matematičkog područja i znanja/namjere onoga tko ga rabi.

Ovdje će biti riječi o jednoj od njegovih mogućnosti, o njegovom potprogramu nazvanom Lokus. To je vrlo "moćan" alat u učenju i poučavanju matematike i niza drugih područja (fizike, kemije, biologije). Bit će riječi o njegovoj matematičkoj "podlozi", kao i o uporabi.

Lokus

Lokus je stari/klasični naziv za geometrijsko mjesto točaka, tj. za skup svih točaka ravnine ili prostora koje zadovoljavaju određeni uvjet. U matematiku su ga uveli starogrčki matematičari koji su njime rješavali složene i teške probleme. Temelji se na ideji međusobnog pridruživanja/preslikavanja dvaju objekata.

Ilustrirajmo to primjerom kružnice. Kružnica je definirana terminima lokusa. Kažemo da je kružnica geometrijsko mjesto točaka ravnine koje su od neke čvrste točke $S$ udaljene za $d$.

Na isti se način definira i graf funkcije - to je geometrijsko mjesto točaka ravnine za koje je druga koordinata funkcijska vrijednost prve koordinate.

Koristeći današnju terminologiju, skup svih početnih objekata nazvat ćemo domenom, a skup pridruženih objekata kodomenom ili, točnije, slikom domene.

Poznato je da se samo pridruživanje, tj. zakon pridruživanja, može definirati, općenito govoreći, s dva bitno različita aspekta:

• a) analitički/algebarski/numerički,
• b) sintetički/geometrijski.

a) Analitički aspekt

Analitički se pridruživanje zadaje formulom/jednadžbom (jednom ili više njih). Takve su $f(x)=ax+b, f(x)=cx^m, \displaystyle\left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{a}\right)^2=1$, Gielisova formula itd.

Ako je pridruživanje funkcijsko, onda se ono uspostavlja uporabom Graf $\rightarrow$ Nacrtajte novu funkciju ... i crtanjem pripadnog grafa u Kartezijevom pravokutnom koordinatnom sustavu (s kvadratnom mrežom /Kvadratna mreža/ ili pravokutnom /Pravokutna mreža/) ili u polarnom koordinatnom sustavu.

Primjer 11.1. Nacrtajmo graf funkcije $f(x)=ax^2+bx+c$, gdje su $a,b,c\in \mathbb{R}$.

1. Zadamo parametre $a,b,c$.
2. Graf $\rightarrow$ Nacrtajte novu funkciju ....
3. U prozor Nova funkcija ... upisujemo (jednadžbu) $a\cdot x^2+b\cdot x+c$ (i provjerimo je li Jednadžba $\rightarrow$ $y=f(x)$) $\rightarrow$ U redu.

Mijenjanjem vrijednosti parametara $a, b$ i $c$ možemo ispitati svojstva krivulje.

Primjer 11.2. U polarnom koordinatnom sustavu nacrtajmo graf funkcije $r(\theta)=a\sin (b\theta+c)+d$ gdje su $a,b,c,d\in \mathbb{R}$.

1. Zadamo parametre $a,b,c,d$.
2. Graf $\rightarrow$ Nacrtajte novu funkciju ....
3. Upišemo $a\cdot \sin (b\cdot \theta+c)+d$ u prozor Nova funkcija ... (i provjerimo je li Jednadžba $\rightarrow$ $r=f(\theta)$) $\rightarrow$ U redu.

Mijenjanjem vrijednosti parametara $a, b, c$ i $d$ ispitujemo svojstva krivulje u polarnom koordinatnom sustavu.

Primjer 11.3. Nacrtajmo graf pridruživanja koje je zadano parametarski $f(x)=\sin x, g(x)=\cos x$.

Uočavamo da u je u Sketchpadu ponuđena mogućnost crtanja grafova eksplicitno zadanih funkcija - bilo da je $y$ zadano kao funkcija od $x$, ili obrnuto, $x$ kao funkcija od $y$, odnosno polarno zadanih funkcija - također dvije mogućnosti, $r$ kao funkcija $\theta,$ ili $\theta$ kao funkcija od $r$. Da bismo nacrtali funkciju zadanu u parametarskom obliku, osim mogućnosti programa treba koristiti i matematičko znanje. Graf ovog pridruživanja je geometrijsko mjesto točaka ravnine za koje je prva koordinata sinus nekog broja, a druga kosinus tog istog broja. Učinimo to!

1. U Broj $\rightarrow$ Nova funkcija ... otvara se prozor u koji se trebaju upisati/definirati $f(x)=\sin x$ i $g(x)=\cos x$.
2. Nakon toga u Graf $\rightarrow$ Nacrtajte parametarsku krivulju ... otvara se prozor u koji se upisuju definirane funkcije.
3. Kad smo upisali funkcije u prozor Crtanje krivulje $\rightarrow$ Graf(x,y)= odaberemo koordinatni sustav, domenu i Crtanje.

Na zaslonu računala vidimo kružnicu!

Primjer 11.4. Nacrtajmo graf semikubne parabole zadane jednadžbom $y^2=x^3.$

Kako bismo nacrtali semikubnu parabolu, bilo koju točku te krivulje definirat ćemo parametarski, tj. vrijedi $h(x)=x^2, q(x)=x^3.$ Primjenom opisanog postupka iz prethodnog primjera nacrtat ćemo graf semikubne parabole (v. sl. 11.4.).

Zadatci

Nacrtajte i ispitajte krivulje:

1. • a) $\displaystyle f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ (Neilova parabola),
   • b) $r=a\varphi$ (Arhimedova zavojnica),
   • c) $r=a\sin 3\varphi$ (ruža s tri latice),
   • d) $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\cos x}=\textrm{ sec}\ x$ (sekans),
   • e) $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin x}=\textrm{ cosec}\ x$ (kosekans),
   • f) $r=a(1-\cos \varphi)$ (kardioida),
   • g) $\displaystyle r=\frac{a}{\varphi}$ (hiperbolna zavojnica),
   • h) $r=a(1+2\cos \varphi)$ (Pascalov puž).
2. • a) $x=r\cos t, y=r\sin t$ (kružnica),
   • b) $x=a\cos t, y=b\sin t$ (elipsa),
   • c) $r^2=a^2\cos ^2\varphi$ (lemniskata),
   • d) $\displaystyle y^2=\frac{x^3}{a-x}$, (cisoida),
   • e) $\displaystyle y=\frac{8a^3}{x^2+4a^2}$ (Versiera).

b) Sintetički aspekt

Znamo da od najdavnijih vremena kružnicu crtamo običnim šestarom. No, s vremenom su matematičari načinili i druge alate kojima se mogu crtati i druge krivulje. Jedan od takvih je i eliptični šestar Leonarda da Vincija.

Nacrtajmo Sketchpadom "uređaj" kojim se mogu crtati elipse.

Primjer 11.5. Dužina $\overline{CT}$ konstantne duljine $a+b$ giba se tako da njen kraj $T$ klizi po osi $Ox,$ a kraj $C$ po osi $OY.$ Odredite stazu gibanja one točke $R$ dužine koja je dijeli na dijelove $|CR|=a, |RT|=b.$

Iskoristit ćemo temeljnu ideju Lokusa. Ulogu nezavisnog objekta imat će slobodno odabrana točka $T$ na osi apscisa (koja slobodno klizi po osi $Ox$). Zavisni objekt bit će odabrana točka $R$ na konstruiranoj dužini $\overline{TC}$ (odnosno točka $Q$ na dužini $\overline{TD}$). Stazu gibanja točke $R$ dobit ćemo na sljedeći način.

1. Zadajmo dužinu $\overline{AB}$ duljine $a+b.$
2. Selektirajmo os apscisa $\rightarrow$ Konstrukcije $\rightarrow$ Točka na objektu i dobijemo točku $T$.
3. Selektirajmo točku $T$ i dužinu $\overline{AB}$ $\rightarrow$ Konstrukcije $\rightarrow$ Kružnica: središte $+$ polumjer.
4. Konstruirajmo točke presjeka $C$ i $D$ dobivene kružnice s osi ordinata.
5. Selektirajmo točke $T$ i $C$ $\rightarrow$ Konstrukcije $\rightarrow$ Dužina i dobijemo dužinu $\overline{TC}.$
6. Selektirajmo točke $T$ i $D$ i na isti način konstruirajmo dužinu $\overline{TD}.$
7. Selektirajmo dužinu $\overline{TC}$ $\rightarrow$ Konstrukcije $\rightarrow$ Točka na dužini i dobijemo točku $R$ ($|CR|=a, |RT|=b$, tj. $|CT|=a+b=c=|AB|$).
8. Točki $R$ nacrtamo simetričnu točku $Q$ s obzirom na os apscisa.

Nezavisna točka $T$ i njoj pridružena točka $R$ pomoću Lokusa definiraju/crtaju pola elipse. Drugu polovicu elipse crtaju točke $T$ i $Q$ (v. sl. 11.5.).

Mijenjanjem duljine dužine $\overline{AB}$ i položaja točke $R$ otkrivamo/crtamo različite elipse.

Pitanje. Može li Da Vincijev šestar "funkcionirati" ako osi nisu međusobno okomite? I kako sve to sad izgleda?

Lokus vrlo često koristimo kad istražujemo sliku nekog objekta dobivenu pomoću zadanog preslikavanja.

Pogledajmo kako skup točaka preslikavaju dva preslikavanja definirana pomoću kružnice i jedno preslikavanje zadano pomoću vrhova trokuta i pravca.

Primjer 11.6. Neka je zadano slovo $M$. Preslikajmo ga pomoću kružnice na sljedeći način.

1. Nacrtajmo slovo $M$ kao poligon i selektirajmo mu vrhove $\rightarrow$ Konstrukcije $\rightarrow$ Unutarnjost poligona $\rightarrow$ Točka na poligonu.

Dobivena točka $A$ nezavisna je točka čija je domena zadani poligon.

2. Nacrtajmo kružnicu $k(S,r)$ sa središtem u po volji odabranoj točki $S$ i po volji odabranog polumjera $r$.
3. Konstruirajmo zraku $SA$ i njezin presjek $B$ s kružnicom $k$.
4. Konstruirajmo polovište $P$ dužine $\overline{AB}$.
5. Selektirajmo točke $A$ i $P$ $\rightarrow$ Konstrukcije $\rightarrow$ Lokus.

Mijenjanjem položaja točke $S$ (i duljine polumjera) dobit ćemo različite ''efekte" ovog preslikavanja (v. sl. 11.6.).

Na ovaj način možemo transformirati i fotografiju.

Točke $A$ i $T$ definiraju Transformaciju 1. Označite fotografiju, a zatim Transformacije $\rightarrow$ Definirajte korisničku transformaciju ... $\rightarrow$ Transformacija 1.

Na slici se vide tri transformacije fotografije Milne na Braču.

Inverzija

Geometrijski smisao ovog preslikavanja jest u tome što ono preslikava točku $T$ koja leži na zraci $OT$, gdje je $O$ središte (ravnine, koordinatnog sustava), u točku $R$ koja leži na istoj zraci, a umnožak udaljenosti $|OT|$ i $|OR|$ je konstantan, tj. vrijedi $$|OT|\cdot |OR|=konstanta=r^2.$$

Broj $r^2$ zove se konstanta inverzije.

Iz ove definicije (v. sl. 11.8.) slijedi da se točke koje leže na kružnici polumjera $r$ sa središtem u točki $O$ preslikavaju u same sebe. Točke iz unutrašnjosti kružnice preslikavaju se u njeno vanjsko područje i obratno (v. sl. 11.9.).

Nabrojimo temeljna svojstva inverzije. Neka je točka $O$ središte inverzije. Razlikujemo slučajeve kada je točka na pravcu ili kružnici (incidentna) ili nije na pravcu ili kružnici.

• Pravac koji prolazi točkom $O$ - središtem inverzije, preslikava se u pravac koji također prolazi kroz $O$.
• Pravac koji ne prolazi točkom $O$ preslikava se u kružnicu koja prolazi kroz točku $O$.
• Kružnica koja prolazi središtem inverzije preslikava se u pravac koji ne prolazi kroz $O$.
• Kružnica koja ne prolazi kroz točku $O$ preslikava se u kružnicu koja ne prolazi kroz točku $O$.

U ova se svojstva vrlo lako i lijepo možemo uvjeriti uporabom Lokusa ili Transformacije.

Pogledajmo kako se inverzijom preslikava kvadrat $3$ x $3$ sa svojim kvadratićima (sl. 11.10. i 11.11.).

Bitno je svojstvo inverzije da ona čuva veličinu kuta što ga tvore dva pravca ili dvije krivulje. Ovo svojstvo ima za posljedicu da se svaka kružnica koja ortogonalno siječe temeljnu kružnicu inverzije preslikava u samu sebe, a međusobno okomiti pravci u međusobno okomite kružnice.

Ranije smo razjasnili da inverzni objekti imaju suprotne eksponente. Takvi su objekti vidljivi i u sljedećem primjeru.

Primjer 11.7. Nacrtajmo graf i njegov inverz u Kartezijevom pravokutnom koordinatnom sustavu i u polarnom za:

• a) $f(x)=\sin x$ i $g(x)=\frac{1}{\sin x}=(\sin x)^{-1}$ (ova se funkcija zove kosekans),
• b) $f(x)=\cos x$ i $g(x)=\frac{1}{\cos x}=(\cos x)^{-1}$ (ova se funkcija zove sekans),
• c) $f(x)=tg x$ i $g(x)=ctg x$,
• d) $f(x)= x$ i $g(x)=\frac{1}{ x}=( x)^{-1}$ (ova se funkcija zove istostrana hiperbola).

Ove su funkcije recipročne (funkcije nisu inverzne nego su njihovi grafovi inverzni objekti, tj. grafovi su simetrični s obzirom na kružnicu).

Inverzija je poseban slučaj takozvanih kvadratnih preslikavanja.

MacLaurinovo preslikavanje

Mnoge se krivulje (primjerice Descartesov list, Dioklova cisoida, strofoida, MacLaurinova trisektrisa, $\dots$) mogu dobiti kao slučajevi preslikavanja kružnice MacLaurinovim preslikavanjem.

Opišimo MacLaurinovo preslikavanje:

Neka su u ravnini zadani pravac q i tri točke A, B i C. Po volji odaberimo točku T ravnine i njoj pridružimo točku R, određenu tako da leži na pravcu TC, a da se pravci TC i RB sijeku u točki Q koja je sjecište pravca TA i pravca q (v. sl. 11.16.).

Istražimo u što se preslika kružnica ovim preslikavanjem.

Ako je kružnica domena točke $T$, dobit ćemo, ovisno o položaju točaka $A,B,C$ i pravca $q$, niz poznatih krivulja (v. sl. 11.17.).

MacLaurinovo preslikavanje omogućuje nam i transformaciju fotografije. Primjerice, efekt jednog takvog preslikavanja vidi se na sljedećoj slici.

Zadatci

1. Konstruirajte krivulju geometrijskih mjesta točaka koje su jednako udaljene od osi $Oy$ i točke $F(x_F,0).$
2. Konstruirajte putanju točke $T(x,y)$ koja pri svom gibanju ostaje dvostruko bliže točki $A(0,a)$ nego točki $B(0,b).$
3. Konstruirajte krivulju geometrijskih mjesta točaka kojih je razlika udaljenosti od točaka $F_1(-a,-a)$ i $F(a,a)$ jednaka b.
4. Zadane su točke $A(a,0)$ i $B(b,0).$ Nađite geometrijsko mjesto točaka iz kojih se dužine $\overline{OA}$ i $\overline{OB}$ vide pod pravim kutom.
5. Nađite putanju točke $M(x,y)$ koja se giba tako da je:
   • a) zbroj kvadrata njenih udaljenosti od točaka $A(-a,0), B(0,a)$ i $C(a,0)$ jednak $3a^2$,
   • b) zbroj kvadrata njene udaljenosti od simetrala kutova koje zatvaraju koordinatne osi jednak $a^2.$
6. Odredite geometrijsko mjesto točaka središta kružnica koje diraju kružnicu $x^2+y^2=2ax$ i os $Oy$.
7. Odredite geometrijsko mjesto polovišta onih tetiva parabole $y=4x^2$ koje s osi $Ox$ zatvaraju kut jednak $\frac{\pi}{4},$ odnosno $\alpha.$
8. Pokažite da je geometrijsko mjesto točaka $T$, koje su od točke $A$ $m$ puta dalje nego točka $B$, za $m=1$ pravac, a za $m\neq 1$ kružnica.
9. Dužina $\overline{AB}$ podijeljena je na dijelove $|OA|=a$ i $|OB|=b$. Pokažite da je geometrijsko mjesto točaka iz kojih se dužine $\overline{AO}$ i $\overline{OB}$ vide pod istim kutom pravac ako je $a=b,$ a kružnica ako je $a\neq b.$ (Apolonijeva kružnica)
10. Zadana je elipsa $b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2.$ Nacrtane su sve moguće tetive iz:
    • a) tjemena $A(a ,0)$;
    • b) bilo koje točke elipse.

    Odredite geometrijsko mjesto polovišta tih tetiva.

11. Odredite krivulju točke $T(x,y)$ koja se giba tako da je razlika kvadrata njenih udaljenosti od simetrala kvadranata jednaka $a$.
12. Nađite geometrijsko mjesto polovišta žarišnih radijvektora povučenih iz desnog žarišta do svih točaka hiperbole $\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2 }=1.$
13. Šipka duljine $|OA|=a$ rotira oko ishodišta koordinatnog sustava. U točki $A$ na nju je zglobno pričvršćena šipka duljine $|AB|=2a$ kojoj kraj klizi po osi $Ox.$ Nađite krivulju koju opisuje polovište $P$ dužine $\overline{AB}.$
14. Po volji odabran polupravac $OM$ koji s osi ordinata zatvara kut $t$ siječe pravac $x=at$ u točki $T$. Nađite geometrijsko mjesto točke $T$.
15. Zadane su tri kružnice $k_1,k_2,k_3.$ Nađite/konstruirajte kružnicu koja dira sve tri zadane kružnice. (Apolonijev problem)
16. Konstruirajte kružnicu koja prolazi točkama $P$ i $Q$, a dodiruje danu kružnicu $k$.
17. Konstruirajte kružnicu koja prolazi točkom $P$, dodiruje danu kružnicu $k$ i ortogonalno siječe drugu danu kružnicu $k$.
18. Nađite kružnicu inverzije koja preslikava dvije dane kružnice jednu na drugu.
19. Gdje leže dirališta svih kružnica koje diraju dvije kružnice $k_1$ i $k_2$ i koje se još po dvije međusobno dodiruju?
20. Kroz jedno sjecište dviju danih kružnica $k_1$ i $k_2$ povucite jednu dvostruku tetivu čiji odresci zadovoljavaju jednakost $a_1\cdot a_2=r^2.$
21. Konstruirajte tetivni četverokut $PQRS$ dane kružnice $k$ čije stranice prolaze kroz četiri dane točke $A,B,C,D.$

$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$

U knjizi A. A. Savelova Ravninske krivulje, Školska knjiga, Zagreb 1977., mogu se naći izazovi za uporabu Lokusa ili Transformacije, kao i poticaji za proučavanje područja matematike koje je bilo dostupno samo nekima.

$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$

U radu nam često trebaju parametri kako bismo mogli proučavati preslikavanja i njihove promjene. Objasnimo njihovo konstruiranje.

Konstruiranje parametara $a,b,c,d,e,f \dots$ i uporaba Opcije datoteke ...

a) Parametre $a,b,c,d,e,f \dots$ konstruiramo na sljedeći način:

1. Graf $\rightarrow$ Definirajte koordinatni sustav
2. Oblik mreže $\rightarrow$ Pravokutna mreža
3. Selektira se os apscisa
4. Konstrukcije $\rightarrow$ Točka na osi
5. Mjerenja $\rightarrow$ (koordinate) Apscisa (x)
6. Podatak $x_A=\dots$ treba preimenovati tako da se na lijevom rubu zaslona (ekrana) uključi "A" i dva puta klikne na $x_A=\dots$; otvori se prozor Svojstva mjerenja i u njega se upiše odgovarajuće slovo/oznaka (recimo $a$) $\rightarrow$ OK
7. Na lijevom rubu zaslona (ekrana) uključi se "$\cdot$" i točka smjesti ispod $a=\dots$
8. Selektira se (redom) ishodište $O$ i smještena točka
9. Transformacije $\rightarrow$ Označite vektor
10. Selektira se točka $A$ (na osi apscisa) $\rightarrow$ Transformacije $\rightarrow$ Translatirajte $\dots$ (otvori se prozor Translatirajte) $\rightarrow$ Translacija
11. Selektiraju se obje točke (ispod $a=\dots$) $\rightarrow$ Konstrukcije $\rightarrow$ Dužina

Ovaj se postupak ponovi onoliko puta koliko nam treba parametara. Datoteka se spremi kao Parametri kako bismo je mogli rabiti kad god nam zatreba.

b) Opcije datoteke uvijek ćemo načiniti ovako:

1. Otvori se Datoteka Parametri $\rightarrow$ Datoteka $\rightarrow$ Spremite kao$\dots$
2. Otvori se prozor Spremite kao i u Datoteka upiše se novi naziv (primjerice, linearna funkcija) $\rightarrow$ Spremite
3. Datoteka $\rightarrow$ Opcije datoteke $\dots$
4. Otvori se prozor Opcije datoteke $\rightarrow$ Dodavanje stranice $\rightarrow$ Kopiranje $\rightarrow$ parametri; u prozoru se u Naziv napiše naziv (primjerice, linearna funkcija) $\rightarrow$ U redu
5. Sada se na stranici linearna funkcija istražuju/otkrivaju svojstva linearne funkcije pomoću parametara
6. Nove se prazne stranice (Prazna stranica) ili kopirane (Kopiranje) dodaju prema potrebi

Web Sketchpad Copyright © 2019 KCP Technologies, a McGraw-Hill Education Company. All rights reserved.

Release: 2019Q3, Semantic Version: 4.6.0, Build Number: 1030-wsp-widgets, Build Stamp: stek-macbook-pro/20190813174206

“You may freely use Web Sketchpad in your own Web pages, provided you do so for non-commercial use only”
[per kcpt.github.io]. License: Creative Commons CC-BY-NC-SA 4.0