-->

       Sadržaj

  •             Riječ, dvije $\dots$
    1.   Uvod
    2.     Grafovi funkcija i krivulja

      Primjeri koji se ovdje nalaze ukazuju na tri razine:
        a) konstruktivne probleme ili crtanje pravaca, likova i presjeka,
        b) otkriće,
        c) dokaz otkrića.

  • ,

    Web Sketchpad za osnovnu i srednju školu

     
    odobrio HUNI www.huni.hr

      Pojam lokusa i njegova uporaba u školskoj nastavi                            matematike

         Grafovi funkcija i krivulja, lokusi, Bézierove krivulje, D'Arcy      Thompson-Gielisovo preslikavanje, kompleksno preslikavanje

                                                    Petar Mladinić i Nikol Radović

    Dobro došli u virtualni svijet matematike

    Video datoteke

    Ovdje smo stavili dvije video datoteke kao ilustraciju mogućnosti njihove uporabe u kreiranju ove datoteke.

    Audio datoteke

    Ove dvije audio datoteke sadrže dvije pjesme. Ostale audio datoteke ukazuju na neke aspekte prezentiranih datoteka nakon njih.

           Riječ, dvije $\dots$

    Ovo je interaktivna knjiga. Sadržaji koji će se prezentirati izabrani su kao primjeri uporabe Web Sketchpada (WSP) u osnovnoj i srednjoj školi. U ovoj ću datoteci prezentirati radove koji su kreirani pomoću Sketchpada, a pomoću WSP-a konvertirani u dinamičnu html datoteku. Raspravit ću i određene aspekte uporabe alata i pokušati ukazati kako se uporabljuju ti alati na definiranim primjerima. Na učiteljima/nastavnicima i učenicima je težište stjecanja iskustva i promišljanje kreativne uporabe ovog potpuno novog i vrhunskog softvera u cilju boljeg poučavanja i učenja matematike. Definiranjem i istraživanjem eksplicitno ću ilustrirati kako se na primjerima mogu ostvariti neki ishodi Nacionalnog okvirnog kurikuluma (NOK-a):



    Dakle, ovom se datotekom, osim nabrojenih zahtjeva, ilustrira i mogući razvoj osjećaja za analogiju koja učenicima omogućuje drukčije razmišljanje. Na ovaj način oni mogu otkriti i spoznati mnoge "nove" zanimljive činjenice elementarne ("školske") matematike.
    $$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
    "Inteligentna" ("pametna") tehnologija utječe na učenje i poučavanje tako da neki sadržaji postaju suvišni, neki važniji, a neki mogući. Korisna je za razvoj pojmovnog razumijevanja i sposobnosti rješavanja problemskih zadataka.

    U pisanju ove datoteke i istraživanju uporabe ovih primjera oslonilo sam se na mogućnosti softvera dinamične geometrije Sketchpad 5.03HR, a posebice na softver Web Sketchpad kojim se kovertiraju .gsp datoteke u .json datoteke uključene u .html datoteku. Softver Web Sketchpad kreirali su Scott Steketee i Daniel Scher američki programeri, sveučilišni profesori i metodičari.
    Koncept/ideja koordinata omogućava da se geometrijskim objektima pridružuju algebarski objekti. Moguće je i obrnuto, algebarskim objektima pridružiti odgovarajuće geometrijske objekte. Ako se to ima na umu, onda se Sketchpad vrlo kreativno i efikasno može uporabiti za vizualizaciju, proučavanje i istraživanje algebre, a ne samo geometrije. Dakle, to je alat za sve sadržaje školske i velikog dijela "više" matematike. Postoje prekrasni primjeri uporabe Sketchpada u "višoj" (fakultetskoj) matematici, primjerice u vizualizaciji ploha ili kompleksnim funkcijama ili Booleovoj algebri itd.
    $$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
    Ovdje su ilustrirana četiri aspekta Sketchpadovih datoteka koje su konvertirane Web Sketchpadom i ugrađene u ovu html datoteku: $$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
    Svojim recenzijama i savjetima te prijedlozima i iskustvom uporabe bitno ćete mi pomoći tekst popraviti kao i uputiti koji Vas primjeri zanimaju, ako mi svoja promišljanja uputite na web stranicu www.huni.hr ili e-adresu petar.mladinic1@zg.ht.hr.

    Od srca zahvaljujem svima koji mi ukažu na pogrješke (bilo koje vrste) i predlože poboljšanja ili ispravke koje ću odmah unijeti u datoteku/prijelom, a "svjetlo dana" ugledat će u sljedećem izdanju datoteke i biti objavljeni odmah na web stranici www.huni.hr .

    Također se zahvaljujem kolegi Predragu Brođancu koji mi je pomogao u učenju i "otkrivanju" mogućnosti i tajni html-a. Zahvaljujemo se i svima imenovanima i neimenovanima na uporabi njihovih uradaka koji su nam poslužili u kreiranju naših.

    Veliku zahvalu upućujem Scottu Steketee i Danielu Scheru koji su mi omogućili sudjelovati testiranjem posljednjih 5 - 6 godina u stvaranje (dok su stvarali/programirali WSP) i uporabu njihovog Web Sketchpada i koji su mi davali i još uvijek daju dragocjene savjete u kreiranju ove html datoteke (a i ostalih radova/datoteka).
           petar.mladinic1@zg.ht.hr
    $$ *\ *\ *\ *\ *\ $$

    1. Uvod

    Uvodno pogledajmo nekoliko sljedećih primjera.

    Igra/slagalica poznata pod nazivom Tangram vrlo lijepo oslikava mogućnosti uporabe njezine u matematičkim promišljanjima i strategijama koje djeca uporabljuju u slaganju zadanih digura.


    Primjer 1. Dijelove Tangrama složite tako da dobijete likove koji se spominju na animacijskom gumbu.




    Primjer 2. Ovdje se ilustrira niz primjera uporabe Sketchpada u osnovnoj školi (od 1. do 8. razreda).





    Primjer 3. Ovdje se ilustrira primjer uporabe Sketchpada u rješavanju strip zadatka Tko je najjači?.

    Primjer 4. U ovom se primjeru ilustrira rješenje 5 različitih problema koji se efikasno vizualiziraju. Za vizualizaciju i programiranje u prvi plan stavlja "programiranje" pomoću Sketchpadovih mogućnosti, a ne nekog od poznatih programskih jezika.


    Primjer 5. U ovom se primjeru ilustrira istraživanje je li točka ili krug u nekom skupu ili nije. Za vizualizaciju i programiranje u prvi plan se stavlja "programiranje" pomoću Sketchpadovih mogućnosti, a ne nekog od poznatih programskih jezika.





    Grafovi funkcija i krivulja



    Ova datoteka i primjeri su korisni učenicima u tri smisla:

    Prvo, razvija osjećaj za matematiku jer se pred učenikom otkriva mogućnost za samostalan stvaralački rad.

    Drugo (a to je još važnije od prvoga jer može pobuditi interese većeg broja učenika), prikladna je ne samo u matematici, nego i u drugim znanostima. Daje prve informacije o "individualnom istraživanju" i "znanstvenoj metodi".

    Treće, otkriva učenicima jedan važan aspekt matematike, a koji se rijetko spominje: matematička su pitanja u ovakvim primjerima i zadatcima tijesno povezana s drugim prirodnim, eksperimentalnim znanostima (u kojima promatranje - eksperiment - i analogija mogu dovesti do otkrića).

    Ove datoteke predložene su za rad s učenicima osnovne škole (crtanje, mjerenje, istraživanje i uočavanje "uvjerljive" argumentacije za crtanje i svojstva krivulja).
    Od učenika srednje škole očekuju se isto takve aktivnosti, ali u skladu s uzrastom očekuju se i dokazi postavljenih/otkrivenih hipoteza. Naravno, da se to i očekuje od darovitih učenika osnovne škole.

    Uz skoro svaku datoteku nalazi se alat za crtanje, mjerenje i istraživanje, a uporabom Widgetsa se mogu mijenjati boje i debljine itd. Na ovim primjerima ilustrira se sva lepeza modernog poučavanja u nastavi školske matematike. I uporaba/povezivanje niza različitih (u klasičnoj edukaciji atomiziranih i izoliranih) sadržaja.

    Definicija lokusa. Lokus ili geometrijsko mjesto točaka je geometrijska figura čije sve točke zadovoljavaju zadani uvjet.

    Definicija parametarske krivulje i parametarskih jednadžbi. Ako su varijable $x$ i $y$ dane s funkcijama $$x =f(t), y=g(t), 0\leq t\leq 1,$$ onda je skup točaka $(x,y)=(f(t),g(t))$ definiran ovim jednadžbama parametarska krivulja.
    Jednadžbe su parametarske jednadžbe krivulje.

    2D graf se zadaje s jednom jednadžbom s dvije varijable $x,y$.
    On može biti predočen s dvije jednadžbe u kojima je svaka varijabla $x$ i $y$ dana s trećom varijablom koja se zove parametar i označava se s $t$.

    Slično, 3D graf se može predočiti s tri parametarske jednadžbe u kojima su $x,x$ i $z$ koordinate dane s parametrom.

    Lokusi. U ovom se primjeru ilustriraju dva pristupa crtanja/generiranja lokusa. Jedan je pomoću grafa funkcije zapisane formulom, a drugi je pomoću parametarskih jednadžbi.

    Klikom na zapis funkcije otvara se kalkulator u kojem se onda može mijenjati zapis. Klikom na parametar otvara se prozor u kojem se može upisati neka druga vrijednost.


    Bézierove krivulje - numerički i geometrijski. U ovoj se datoteci prezentiraju numerički i geometrijski aspekti crtanja Bézierovih krivulja.

    U prvi plan (u numeričkom aspektu) dolazi uporaba pojma Newtonove binomne formule, Pascalovog trokuta, binomnih koeficijenata povezanih sa zapisom različitog stupnja polinoma (s jednom ili dvije varijable).

    U geometrijskom aspektu dolazi do izražaja uporaba geometrijski pojmova: točke, dužine, polupravca, pravca, presjeka skupova točaka, pojam mnogokuta, tangente ...

    Dakle, vidljiva se dva aspekta (nerazdvojna i isprepletena tj. dualna svojstva) matematička: numerički i geometrijski koji su međusobno povezani Descartesovom koordinatnom metodom.

    Klikom na zapis funkcije otvara se kalkulator u kojem se onda može mijenjati zapis. Klikom na parametar otvara se prozor u kojem se može upisati neka druga vrijednost.




    Bézierove krivulje - geometrijski. U ovoj se datoteci prezentiraju geometrijski aspekti crtanja Bézierovih krivulja.

    U geometrijskom aspektu dolazi do izražaja uporaba geometrijski pojmova: točke, dužine, polupravca, pravca, presjeka skupova točaka, pojam mnogokuta, tangente ...



    Preslikavanje D'Arcy Thompsona U ovoj se datoteci ilustrira vizaualizacija bioloških promjena koje je uočio i istražio škotski biolog i matematičar D'Arcy Thompson.

    Preslikavanje/transformacija je definirana polinomom drugog stupnja s dvije nezavisne varijable $x$ i $y$.

    Mijenjanjem vrijednosti geometrijskih zadanih parametara početno se istražuju svojstva/utjecaj njihov na transformaciju zadanih skupova točaka.

    D'Arcy Thompson je uspio odrediti vrijednosti parametara koji jedan oblik (primjerice, ribe) preslikavaju u neki drugi (u njegovom primjeru, u drugu vrstu ribe koja joj je srodna).

    Na taj je način, matematičkom argumentacijom, dao izravne dokaze Darwinovoj teoriji evolucije prijelaza iz jednog u drugi biološki oblik.

    Ovo preslikavanje su moji učenici primijenili na "evolucijsko povezivanje" oblika lubanje niza predaka današnjeg čovjeka. Odredili su koeficijente transformacije koja povezuje jedan oblik lubanje s drugim. (Njihov se rad može naći na internetu!)

    Tu otkrivenu "zakonitost" transformiranja primijenili su na daljnje istraživanje i traženje odgovora na pitanje kako bi mogla ljudska lubanja izgledati u nekoj dalekoj budućnosti.

    Dakle, izravno je pojam polinoma drugog stupnja s dvije varijable primijenjen za povezivanje prošlih bioloških oblika i uporabljen za "prognoziranje" budućnosti oblika lubanje.

    U ovom trenutku me zamolio belgijski biolog i matematičar Johan Gielis (njegovo je poopćenje Pitagorine formule poznato kao Gielisova superformula kojom se mogu vizualizirati 2D i 3D biološki oblici) za pomoć oko određivanja transformacija bambusa (za koje biljke je on svjetski ekspert).

    Kombinacijom D'Arcy Thompsonovog preslikavanja i Gielisove formule matematizirat ćemo evolucijsku vezu bambusa i još niza drugih biljnih organizama.

    Svugdje je dosljedno provedeno preslikavanje utemeljeno na općem pojmu preslikavanja koje smo izložili i ilustrirali u prethodnim poddatotekama ove datoteke.
    Dakle, i u području Kompleksne analize vrlo produktivna je temeljna ideja definiranja transformacija/preslikavanja skupova točaka pomoću školskih elementarnih činjenica koje se poučavaju i uče ou osnovnoj i srednjoj školi, ali se nikada ne povezuju za ovako "dalekosežna" matematička područja.
    Ovdje su uporabljena opća znanja o zapisu linearne, kvadratne i racionalne funkcije s Gaussovim prikazom kompleksnog broja u standardnom zapisu (kao broju s realnim i imaginarnim dijelom, tj. kao broja koji je definiran s dvije varijable i kao takav se može prikazati u pravokutnoj koordinatnoj ravnini).

    Preslikavanje u Gaussovoj kompleksnoj ravnini. U ovoj se datoteci ilustrira vizaualizacija preslikavanja definiranih u skupu kompleksnih brojeva C.

    To smo učinili posebice u radovima Elemetarne kompleksne funkcije, Reljefne plohe kompleksnih funkcija i Plohe.




    Zaključak o uporabi lokusa i preslikavanja u školskoj matematici. U ovoj su datoteci eksplicitno ilustrirani svi aspekti moderne nastave matematike kao i zahtjevi nekih ishoda Nacionalnog okvirnog kurikuluma (NOK-a):


    • $\dots$ uspostaviti i razumjeti veze i odnose među matematičkim objektima, idejama, pojmovima, prikazima i postupcima te oblikovati cjeline njihovim nadovezivanjem,

    • $\dots$ organizirano prikazati matematičke objekte, ideje, postupke i rješenja riječima, slikama, crtežima, maketama, dijagramima, grafovima, listama, tablicama, brojevima, simbolima i misaono,
    • $\dots$ postavljati matematici svojstvena pitanja (Postoji li? Ako postoji, koliko? Kako ćemo ih pronaći? Zbog čega? i slična) te stvarati i istraživati na njima zasnovane matematičke pretpostavke,
    • $\dots$ obrazložiti odabir matematičkih postupaka i utvrditi smislenost dobivenoga rezultata,
    • $\dots$ pratiti, stvarati i vrjednovati lance matematičkih argumenata različitih vrsta te primjenjivati analogiju, generalizaciju i specijalizaciju,
    • $\dots$ kreativno, kritički i fleksibilno misliti,
    • $\dots$ primijeniti koordinatnu geometriju, za prikazivanje i istraživanje svojstava geometrijskih oblika,
    • $\dots$ rabiti geometrijske transformacije ravnine za opisivanje pravilnosti i svojstava geometrijskih uzoraka,
    • $\dots$



    Dakle, ovom se datotekom, osim nabrojenih zahtjeva, ilustrira i mogući razvoj osjećaja za analogiju koja učenicima omogućuje drukčije razmišljanje. Na ovaj način oni mogu otkriti i spoznati mnoge "nove" zanimljive činjenice elementarne ("školske") matematike.

    Ilustrirana je povezanost različitih matematičkih područja u kojima se segmentirano poučavaju i učenje određenih činjenica, a ovdje su "smisleno" povezane/primijenjene. Pokazana je mogućnost da se i učenici tijekom svojeg školovanja upoznaju s ovim pogledom i povezivanjem u matematici i njezinim rješenjima kao i primjenom, primjerice, u biologiji (ribe, lubanje, listovi) i geografiji (reljefne plohe). Za ukazivanje na povezanost s drugim područjima ostavljamo u zadatak čitatelju.



    Bilješka o autorima



    Životopisi





    Petar Mladinić rođen je 1950. godine u Zagrebu, gdje je diplomirao matematiku na Prirodoslovno-matematičkom fakultetu.

    Njegov rad ima dugotrajan učinak na poboljšanje odgojne i obrazovne prakse. Kao voditelj Nastavne sekcije Hrvatskoga matematičkog društva pridonosio je razvoju profesionalnih potreba učitelja/nastavnika, učenika i studenata u formalnome i neformalnom svakidašnjem i cjeloživotnom učenju i poučavanju.

    Organizirao je više od 150 predavanja, mnogobrojne radionice, pokrenuo Ljetnu školu Ruđera Boškovića te Ljetnu školu V. gimnazije i HMD-a.

    Za profesionalne potrebe učitelja, učenika i studenata utemeljio je četiri matematička časopisa: Poučak, Matka, Playmath i math.e te inicirao izdavanja knjiga u sklopu Male matematičke i Matkine biblioteke.

    Napisao je stotinjak stručnih članaka, knjiga, gimnazijskih i drugih udžbenika, potaknuo prijevode i preveo nekoliko knjiga te organizirao na desetke radionica za nastavnike i učenike.

    Pridonio je razvoju sustava obrazovanja u matematičkom području kao član Vijeća za nacionalni kurikulum i član Radne skupine za izradu Nacionalnoga okvirnog kurikuluma za matematiku.

    Godine 2011. prijavio je projekt V. gimnazije IPAQ Peta - afirmativna nastava i inovativno poučavanje u gimnazijama u okviru HKO koji je realiziran s timovima četiriju gimnazija - iz Vukovara, Pakraca, Knina i Metkovića - te Prirodoslovno-matematičkim fakultetom iz Zagreba, uz sudjelovanje 1200 učenika i 1000 nastavnika.

    Osmislio je i organizirao projekt dvogodišnjih okupljanja učitelja i nastavnika matematike (susreti i kongresi nastavnika matematike) na kojima su izlagali hrvatski nastavnici, kao i najugledniji strani stručnjaci iz područja nastave matematike.

    Utemeljio je hrvatski ogranak TTT (Teacher Teaching Technology).

    Utemeljio je i više godina vodio Geometrijske radionice HMD-a.

    Kao nastavnik, a posebno kao ravnatelj V. gimnazije, aktivno je uključen u zajednicu, osnažuje demokratske procese, toleranciju i solidarnost među mladim ljudima i njihovim roditeljima.

    U slobodnom vremenu bavio se i suđenjem rukometnih utakmica. Prvi je hrvatski međunarodni sudac koji je licencu postigao u Lijepoj Našoj. Od 1993. do 1999. godine bio je član tzv. elitne liste sudaca IHF-a (International handball federation). Sudio je utakmice na Olimpijadi u Atlanti, na 4 svjetska prvenstva, 3 europska, 2 azijska i na mediteranskim igrama. Sudio je završnu utakmicu japanskog prvenstva, kao i tuniskog. Također je sudio 7 završnih utakmica europskih kupova, utakmice na dva svjetska kupa te prvi europski super kup. Na obilježavanju 100 godina športa u Austriji sudio je utakmicu između ženskih reprezentacija Austrije i Svijeta. Ukupno je sudio na više od 250 međunarodnih utakmica.

    Odlikovan je Spomenicom Domovinskog rata 1990. - 1992., odličjem Reda hrvatskog pletera i dobitnik je Državne nagrade Ivan Filipović za godinu 2015.


    $$ *\ *\ *\ *\ *\ $$


    Nikol Radović rođena je 1963. godine u Sisku. Diplomirala je na Matematičkom odsjeku Prirodoslovno-matematičkog fakultetu Sveučilišta u Zagrebu, na smjeru Geometrija i topologija.

    Godine 1997. magistrirala je na istome odsjeku s temom Reed-Müllerovi kodovi. Radi kao viša predavačica na Katedri za matematiku i fiziku Zavoda za geomatiku Geodetskog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu.

    Područje autoričina znanstvenog i stručnog interesa je primjena matematike u drugim znanostima (kemija, kristolografija, fizika, geodezija i geomagnetizam). U razdoblju od 1992. do 2000. godine surađuje unutar projekta Ministarstva znanosti Studij separacije i analize, te strukture i svojstava materijala (1992. - 1996.) br 1 - 07 071 i Separacija, struktura i sustav metalnih materijala (1997. - 2000.), br. 124003, volonterski, na matematičkoj obradi podataka. Rezultat toga je velik broj objavljenih znanstvenih i stručnih radova u domaćim i stranim časopisima, kao i sudjelovanja na znanstvenim i stručnim skupovima.

    Koautorica je udžbenika iz matematike za osnovnu školu (od 5. do 8. razreda), te knjige Nacrtna geometrija: Perspektiva - Mongeov postupak - Aksonometrija.

    Aktivno sudjeluje u aktivnostima Nastavne sekcije Hrvatskog matematičkog društva u organiziranju i provedbi metodičkih radionica za učenike i nastavnike na popularizaciji matematike kao i primjeni tehnolgije u nastavi matematike, te u nizu projekata, primjerice Matematika uz pomoć računala i računalnog programa Sketchpad (2007. - 2010.) u organizaciji Hrvatskog matematičkog društva i CARNET-a kao jedan od koordinatora.

    Sudjeluje u projektima Geopotencijal i geodinamika Jadrana (Geo ++Adria) (od 2007.), Joint Croatian - Hungarian Geomagnetic Repeat Station Survey and Joint Geomagnetic Field Model (od 2009.), Dynamic Number) u organizaciji National Science Foundation, U.S.A. i KCP Tehnologies (od lipnja 2010.), IPAQ Peta - projekt V. gimnazije i PMF-a u Zagrebu u okviru Further development and implementation of the Croatian Qualifications Framework (od lipnja 2013. do veljače 2015.) te Matematičkim znanstvenim izazovima na Večerima matematike u organizaciji HMD-a (od lipnja 2013.).