Web Sketchpad i van Hieleove razine o funkcijama

 

                                                test - primjer eksponencijalne funkcije

                                         Petar Mladinić i Nikol Radović

U nizu vizualizacija omogućena je uporaba WSP alata. Uporabom njihovom mogu se izravno na stranici (html datoteci) mijenjati parametri, istraživati promjene i kreirati hipoteze.

Matematičke oznake i formule napisane su pomoću Latex-a i generiraju se kad je računalo povezano s internetom.

       Riječ, dvije $\dots$

Ovo je interaktivna knjiga. Testovi koji će se prezentirati izabrani su kao primjeri uporabe Web Sketchpada (WSP) u HUNI-jevom projektu istraživanja znanja o funkcijama u osnovnoj i srednjoj školi. U ovoj ću datoteci prezentirati test koji je kreiran na klasičan način, ali je pomoću Sketchpada i WSP-a konvertiran u dinamičnu html datoteku. Raspravit ću i određene aspekte uporabe alata i pokušati ukazati kako se uporabljuju ti alati na definiranom testu. Na učiteljima/nastavnicima i učenicima je težište stjecanja iskustva i promišljanje kreativne uporabe ovog potpuno novog i vrhunskog softvera u cilju boljeg poučavanja i učenja matematike, tj. u ovom slučaju testiranju. Definiranjem i istraživanjem eksplicitno ću ilustrirati kako se na primjeru testa mogu ostvariti neki ishodi Nacionalnog okvirnog kurikuluma (NOK-a):

• $\dots$ uspostaviti i razumjeti veze i odnose među matematičkim objektima, idejama, pojmovima, prikazima i postupcima te oblikovati cjeline njihovim nadovezivanjem,
  
  
• $\dots$ organizirano prikazati matematičke objekte, ideje, postupke i rješenja riječima, slikama, crtežima, maketama, dijagramima, grafovima, listama, tablicama, brojevima, simbolima i misaono,
  
• $\dots$ postavljati matematici svojstvena pitanja (Postoji li? Ako postoji, koliko? Kako ćemo ih pronaći? Zbog čega? i slična) te stvarati i istraživati na njima zasnovane matematičke pretpostavke,
  
• $\dots$ obrazložiti odabir matematičkih postupaka i utvrditi smislenost dobivenoga rezultata,
  
• $\dots$ pratiti, stvarati i vrjednovati lance matematičkih argumenata različitih vrsta te primjenjivati analogiju, generalizaciju i specijalizaciju,
  
• $\dots$ kreativno, kritički i fleksibilno misliti,
  
• $\dots$ primijeniti koordinatnu geometriju, za prikazivanje i istraživanje svojstava geometrijskih oblika,
  
• $\dots$ rabiti geometrijske transformacije ravnine za opisivanje pravilnosti i svojstava geometrijskih uzoraka,
  
• $\dots$
  

Dakle, ovom se datotekom, osim nabrojenih zahtjeva, ilustrira i mogući razvoj samopouzdanja koje učenicima omogućuje "otkrivanje" razine koju postižu rješavanjem testa. Na ovaj način oni mogu otkriti i spoznati mnoge "nove" zanimljive činjenice elementarne ("školske") matematike.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
"Inteligentna" ("pametna") tehnologija utječe na učenje i poučavanje tako da neki sadržaji postaju suvišni, neki važniji, a neki mogući. Korisna je za razvoj pojmovnog razumijevanja i sposobnosti rješavanja problemskih zadataka.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$
Funkcije se smatraju jednim od najvažnijih pojmova srednjoškolske matematike, nužnim za učenje i razumijevanje matematike. Najizraženija značajka pojma funkcije je raznolikost prikazivanja: grafički, tablicama pridruženih vrijednosti, simbolički i verbalnim opisima.

Za uspješnu izgradnju ovog kompleksnog pojma, važno je poticati razvoj svih njegovih aspekata. Uvidom u udžbenike i nastavu praksu može se zaključiti da u hrvatskom obrazovanju dominira aspekt funkcije kao pravila pridruživanja s istaknutim algebarskim pristupom.

Imajući to na umu, polazeći od poznatih relevantnih svjetskih teorijskih okvira, razvili smo teorijski okvir koji opisuje razine razvoja pojma funkcije. Okvirom su dani opis i specifični zahtjevi pet uzastopnih razina razvoja pojma.
$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$ Ovdje prezentiramo neke aspekte i činjenice o HUNI-jevom projektu istraživanja van Hieleovih razina znanja o funkcijama hrvatskih učenika.
Prvo testiranje učenika učinjeno je 2019. godine. Drugo testiranje, kako je elaborirano u akcijskom istraživanju, realizirat će se u jesen 2020. godine (jer okolnosti pandemije nisu nam omogućili to učiniti u proljeće 2020. godine).

$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$

Definiranje van Hieleovih razina za funkcije uobličili su članovi HUNI-jeve ekipe: Željka Milin, Matea Gusić, Nives Baranović, Branka Antunović Piton, Maja Cindrić, Sanja Antoliš, Aneta Copić, Eva Špalj, Maja Đerek, Ljiljana Jeličić, Ljubica Jerković, Hannah Barnes, Michael de Villiers i Petar Mladinić.

Sukladno definiranju razina načinjeni su testovi za ispitivanje znanja učenika osnovne i srednje škole.

Te su razine razmotrene i raspravljene na konferenciji u Zadru zajedno s nastavnicima iz škola koje su se uključile u projekt akcijskog istraživanja znanja učenika o funkcijama.

Prijedlozi verzija testova o linearnoj, kvadratnoj, eksponencijalnoj i logaritamskoj funkciji raspravljeni su i prihvaćeni na spomenutoj konferenciji.

Testiranje učenika je provedeno u svibnju 2019. godine. Drugo testiranje s dorađenim testovima bila je planirano provesti u proljeće 2020., ali je pomaknuto za jesen ove godine zbog pandemije koronavirusa.

Razine razvoja pojma eksponencijalne funkcije

       1. Vizualna razina

Aritmetičko – grafička razina

Učenici su svjesni postojanja pojma eksponencijalne funkcije, ali ne uočavaju specifična svojstva.

Prepoznaju osnovnu eksponencijalnu funkciju zadanu grafički, pravilom pridruživanja i tablično.

Učenici mogu riječima opisati rekurzivno pravilo, primjerice: udvostručujem prethodni broj da bih dobio sljedeći.

Koriste osnovni funkcijski jezik, npr. varijabla, vrijednosti funkcije, graf i pravilo pridruživanja.

Razrada:

1. Uvod u prikaze eksponencijalne funkcije:

• Rekurzivno zadavanje (uputa dana verbalno);
• Pridruživanje (naglasak na domenu i kodomenu) prikazano Vennovim dijagramima i dvama paralelno postavljenim brojevnim pravcima;
• Tablica pridruženih vrijednosti i uređeni parovi;

2. Graf eksponencijalne funkcije:

• Lokalna razina:

          $\diamond$ Prikazivanje i očitavanje točaka;

• Globalna razina:

        $\diamond$ Razina prepoznavanja grafa funkcije, ali bez određivanja pravila;

        $\diamond$ Utjecaj baze $a$ na oblik grafa funkcije (pad i rast);

3. Ulaz u simbolički prikaz eksponencijalne funkcije:

• Prepoznavanje pravila pridruživanja $f(x)=a^x$ kao eksponencijalne i razlikovanje eksponencijalne i polinoma;
• Povezivanje pravila pridruživanja $f(x)=a^x$ s odgovarajućom tablicom vrijednosti i obratno;

4. Definicija eksponencijalne funkcije:

                $\diamond$ Diskusija oko domene i kodomene (Vennovi dijagrami i verbalno) i pravila pridruživanja;

5. Primjena eksponencijalne funkcije u realnom kontekstu:

        $\diamond$ Rekurzivno (bez pravila pridruživanja): količina se udvostručuje, smanjuje se za 30%

        $\diamond$ Aktivnosti očitavanja podataka iz tablica pridruženih vrijednosti i grafa;

        $\diamond$ Aktivnosti izračunavanja vrijednosti kad je funkcija zadana pravilom pridruživanja – radioaktivni raspad;

PRIMJERI:

1. Potencirajte 2 zadanim brojem i prikažite pridruživanje na brojevnim pravcima.







2. Usporedite tablice A i B:



   

Tablica A        Tablica B
a) Koja tablica opisuje linearnu funkciju?
b) Koja tablica opisuje eksponencijalnu funkciju?
c) Kako biste opisali razliku između linearne i eksponencijalne funkcije služeći se tablicama?
3. Popunite tablicu







4. Odredite dvije točke koje pripadaju grafu funkcije $\displaystyle f(x)=\left(\frac{3}{2}\right)^x$.
5. Koji od navedenih grafova predstavlja graf eksponencijalne funkcije?



      

             A                       B                        C                       D



6. U koordinatnom su sustavu prikazani grafovi funkcija $f, g, h$. Svakome od njih pridružite pravilo.



  



7. Na slici su grafovi funkcija s pravilima pridruživanja $f(x)=3^x, g(x)=\displaystyle\left(\frac{1}{3}\right)^x$.






a) Označite grafove odgovarajućim slovom.
b) S obzirom na koju os su grafovi funkcija $f$ i $g$ osnosimetični?
c) Odredite tri uređena para koja pripadaju grafu funkcije $g$.
d) Odredite tri uređena para koja pripadaju grafu funkcije $f$.
e) Odredite koordinate točke koja pripada jednom i drugom grafu.
8. Ana je u nedjelju u 8 sati ujutro stavila u kasicu 1 kunu i svaki dan u isto vrijeme stavlja dvostruko više kuna nego prethodnoga dana.
   Koliko će kuna imati u kasici sljedeće nedjelje u podne?
   
 

       2. Operacijska razina

Grafičko – algebarska razina

Učenici poznaju osnovne pojmove (npr. asimptota grafa, presjek s osi y) i svojstva (npr. monotonost).

Učenici su upoznati, ne samo s osnovnom eksponencijalnom funkcijom, već i s eksponencijalnim funkcijama, čiji se grafovi dobiju transformacijom grafa osnovne eksponencijalne funkcije i u mogućnosti su ih koristiti.

Na ovoj razini se još ne uspostavlja veza među pojmovima i svojstvima.

S obzirom da se radi o operacijskoj razini koja se očituje prelaskom na simbolički prikaz, učenici su u mogućnosti izvesti standardne proceduralne zadatke, uključujući prevođenje funkcije iz zadanog prikaza u traženi.

Razrada:

1. Procedure povezane s konceptima i značenjem (jednokoračni zadatci)

• Zadani prikaz eksponencijalne funkcije (npr. $f(x)=a^x$) prevesti u traženi prikaz (npr. graf funkcije);
• Grafička interpretacija svojstava monotonosti i injektivnosti, horizontalni test;
• Grafička interpretacija koeficijenata eksponencijalne funkcije $f(x)=a^x+y_{0}, f(x)=N_0 a^x$;

2. Odgovarajuća primjena eksponencijalne funkcije u realnom kontekstu:

• Prevođenje rekurzivnog pravila zadanog opisno u pravilo pridruživanja $f(x)=a^x$;
• Interpretacija koeficijenata u pravilu pridruživanja $f(x)=N_0 a^x$;

PRIMJERI:

1. Odredite asimptote grafova funkcija:

  

             a)                       b)  



2. Funkcija $f$ zadana je pravilom pridruživanja $f(x)=3^x$.
a) Odredite tri uređena para koja pripadaju grafu zadane funkcije i nacrtajte njezin graf.
b) Nacrtajte novi graf koji se dobije translacijom grafa u pozitivnom smjeru duž osi $y$.
c) Napišite pravilo pridruživanja nove funkcije
d) Napišite tri uređena para koji pripadaju grafu nove funkcije.

3. Koristeći tablicu vrijednosti, odgovorite na slijedeća pitanja:






a) Ulazne vrijednosti se povećavaju za $1$ u svakom sljedećem redu. Što se događa s izlaznim vrijednostima?
b) Opisuju li vrijednosti u tablici funkciju ili ne, ako da koju?
c) Ako je ulazna vrijednost $4$, što će biti izlazna vrijednost?
d) Ako je izlazna vrijednost $16 384$, kolika je ulazna vrijednost?
e) Koje pravilo opisuje određivanje izlaznih vrijednosti ako je ulazna vrijednost $n$?
f) Nacrtajte graf koji predstavlja vrijednosti iz tablice.

4. Sara se odlučila štedjeti. Na početku ima $10$ eura. Njezina baka je pristala pomoći u štednji. Ona će kroz 6 mjeseci svaki mjesec Sarinu ušteđevinu udvostručiti.
   Ispunite tablicu kako biste prikazali kako se Sarina ušteđevina povećava svaki mjesec.
   






a) Odredite pravilo (opisno, riječima) ili formulu (koristeći simbole) po kojem se može odrediti koliko novca Sara može uštedjeti u $12.$ mjesecu ako uvjeri svoju baku da nastavi toliko dugo sudjelovati u štednji.
b) Odredite opće pravilo pomoću kojeg Sara može odrediti koliko novca će uštedjeti nakon x mjeseci.

       3. Manipulacijsko-generalizacijska razina

Algebarsko – geometrijska razina

Učenici uspostavljaju vezu među svojstvima eksponencijalne funkcije.
Promatraju eksponencijalnu funkciju kao objekt, radi čega su u mogućnosti uočavati i primjenjivati svojstva poput utjecaja koeficijenata na izgled grafa funkcije te transformacije grafa.
Učenici koriste neformalnu dedukciju prilikom odabira i obrazlaganja koraka u procesu rješavanja matematičkog problema.
U mogućnosti su izložiti smislenu definiciju funkcije i povezati je s karakterističnom eksponencijalnom promjenom.

Razrada:

1. Proceduralno – konceptualno razumijevanje (višekoračni zadatci)

• Transformacije grafa eksponencijalne funkcije;
• Primjena svojstva injektivnosti i monotonosti eksponencijalne funkcije;
• Asimptotsko ponašanje i usporedba s rastom linearne i kvadratne funkcije;

2. Odgovarajuća primjena eksponencijalne funkcije u realnom kontekstu

• Interpretacija koeficijenata u pravilu pridruživanja $f(x)=N_0 a^{kx}+y_0$;
• Aktivnosti modeliranja eksponencijalnom funkcijom;

PRIMJERI:

1. Koristeći tablicu vrijednosti eksponencijalne funkcije odgovorite na pitanja:






a) Što možete reći o vrijednosti $f(x)$ ako je $x$ veći od $3$?
b) Što možete reći o vrijednosti $f(x)$ ako je $x$ manji od $0$?
c) Što možete reći o vrijednosti $x$ ako je $f(x)<1024$?
2. Na slici je prikazan graf funkcije $f$. Popunite tablicu koristeći dani graf:









3. Imate na raspolaganju sljedeće dvije opcije ulaganja:

Opcija 1: Prvog dana počinjete s kovanicom od $1$ centa. Taj se iznos udvostručuje sljedeći dan, pa se dobiveni iznos opet udvostručuje sljedeći dan itd. sve do $20.$ dana.
Opcija 2: Prvog dana počinjete s $1\, 000$ eura. Taj iznos se povećava za $100$ eura svaki sljedeći dan sve do $20.$ dana.
a) Kolika je razlika u iznosima koje bi imali $10.$ dana štedeći po ovim dvjema opcijama?
b) Koja opcija će vam dati više novaca nakon $20$ dana?
c) Zapišite algebarski izraz za svaku opciju koji pokazuje koliko biste zaradili nakon $x$ dana.
d) Usporedite iznose koje biste uštedjeli po ovim dvjema opcijama nakon godinu dana.
e) Utvrdite koji tip funkcije je opisan opcijom $1$, a koji opcijom $2$.

4. Dvije šalice vrućega čaja temperature 100°C želimo ohladiti na temperaturu pogodnu za konzumiranje. Jednu šalicu stavimo u hladnjak, a drugu ostavimo na sobnoj temperaturi.
   Grafovi A i B prikazuju ovisnost temperature čaja $T$ o proteklom vremenu $t$.
   

  

    A                       B  


a) Koji graf prikazuje hlađenje čaja na sobnoj temperaturi?
b) Ako je za piće pogodna temperatura od 50°C, hoće li se neka od šalica čaja ohladiti za 5 minuta?
c) Može li temperatura čaja u hladnjaku pasti ispod 2°C?
Obrazložite odgovore!

       4. Razina diferencijalnog i integralnog računa

Na ovoj razini funkcija je objekt. Pomoću funkcija je moguće opisati pojave (kao promjene), koristeći odgovarajuća svojstva funkcija.

Uvodi se pojam derivacije kao brzine promjene.
Uvodi se pojam integrala kao antiderivacije, odnosno ukupne promjene.
Računa se i interpretira derivacija funkcije u točki, te se primjenjuje integral.

       5. Razina matematičke analize

Matematički strogo zasnivanje pojma funkcije i ostalih vezanih pojmova.

Fakultetska razina.

2. Eksponencijalna funkcija - test

U ovom testu se nalazi 9 zadataka. Zadatcima od 1. do 3. ispituje se 1. Vizualna razina, zadatcima od 4. do 6. ispituje se 2. Operacijska razina, a zadatcima od 7. do 9. ispituje se 3. Manipulacijsko-generalizacijska razina.

Test s 9 zadataka

1. zadatak

Pogledajte rješenje

2. zadatak

Pogledajte rješenje

3. zadatak

Pogledajte rješenje

4. zadatak (Napomena: ako se na zaslonu odmah ne vidi tekst zadatka, onda kliknite "lijevim mišem" na zaslon i pomaknite ga. Ili kliknite na stranicu 2., pa se vratite na 1.)

5. zadatak Pomoću alata riješite zadatak na 1. stranici. Tek nakon toga usporedite svoje rješenje s predloženim rješenjem na drugoj stranici.
(Napomena: ako se na zaslonu odmah ne vidi tekst zadatka, onda kliknite "lijevim mišem" na zaslon i pomaknite ga. Ili kliknite na stranicu 2., pa se vratite na 1.)

6. zadatak Pomoću alata riješite zadatak na 1. stranici. Tek nakon toga usporedite svoje rješenje s predloženim rješenjem na drugoj stranici.
(Napomena: ako se na zaslonu odmah ne vidi tekst zadatka, onda kliknite "lijevim mišem" na zaslon i pomaknite ga. Ili kliknite na stranicu 2., pa se vratite na 1.)

7. zadatak Pomoću alata riješite zadatak na 1. stranici. Tek nakon toga usporedite svoje rješenje s predloženim rješenjem na drugoj stranici.
(Napomena: ako se na zaslonu odmah ne vidi tekst zadatka, onda kliknite "lijevim mišem" na zaslon i pomaknite ga. Ili kliknite na stranicu 2., pa se vratite na 1.)

8. zadatak Pomoću alata riješite zadatak na 1. stranici. Tek nakon toga usporedite svoje rješenje s predloženim rješenjem na drugoj stranici.
(Napomena: ako se na zaslonu odmah ne vidi tekst zadatka, onda kliknite "lijevim mišem" na zaslon i pomaknite ga. Ili kliknite na stranicu 2., pa se vratite na 1.
Ako ne vidite na zaslonu čitav tekst, tj. dio teksta Vam se na desnoj strani ne prikazuje, onda mišem pomaknite kursor/"letvu" na dnu stranice ulijevo kako biste vidjeli čitav tekst.)

9. zadatak Pomoću alata riješite zadatak na 1. stranici. Tek nakon toga usporedite svoje rješenje s predloženim rješenjem na drugoj stranici.
(Napomena: ako se na zaslonu odmah ne vidi tekst zadatka, onda kliknite "lijevim mišem" na zaslon i pomaknite ga. Ili kliknite na stranicu 2., pa se vratite na 1.
Ako ne vidite na zaslonu čitav tekst, tj. dio teksta Vam se na desnoj strani ne prikazuje, onda mišem pomaknite kursor/"letvu" na dnu stranice ulijevo kako biste vidjeli čitav tekst.)

3. Zadatci i van Hieleove razine

U ovom testu se nalazi 9 zadataka. Zadatcima od 1. do 3. ispituje se 1. Vizualna razina, zadatcima od 4. do 6. ispituje se 2. Operacijska razina, a zadatcima od 7. do 9. ispituje se 3. Manipulacijsko-generalizacijska razina.
Ako se uspješno riješe barem dva od tri zadatka neke razine, onda se može smatrati da je ta razina uspješno apsolvirana.
Ako se dogodi da je rješavač uspješniji u rješavanju zadataka na višoj razini nego na nižoj, onda se treba razmotriti njegov test i pogrješke ili neznanje te mu ukazati na to kako i na koji način treba to "nadoknaditi" u svojem znanju o funkciji.

4. Bilješka o autorima ove datoteke

Životopisi

Petar Mladinić rođen je 1950. godine u Zagrebu, gdje je diplomirao matematiku na Prirodoslovno-matematičkom fakultetu.

Njegov rad ima dugotrajan učinak na poboljšanje odgojne i obrazovne prakse. Kao voditelj Nastavne sekcije Hrvatskoga matematičkog društva pridonosio je razvoju profesionalnih potreba učitelja/nastavnika, učenika i studenata u formalnome i neformalnom svakidašnjem i cjeloživotnom učenju i poučavanju.

Organizirao je više od 150 predavanja, mnogobrojne radionice, pokrenuo Ljetnu školu Ruđera Boškovića te Ljetnu školu V. gimnazije i HMD-a.

Za profesionalne potrebe učitelja, učenika i studenata utemeljio je četiri matematička časopisa: Poučak, Matka, Playmath i math.e te inicirao izdavanja knjiga u sklopu Male matematičke i Matkine biblioteke.

Napisao je stotinjak stručnih članaka, knjiga, gimnazijskih i drugih udžbenika, potaknuo prijevode i preveo nekoliko knjiga te organizirao na desetke radionica za nastavnike i učenike.

Pridonio je razvoju sustava obrazovanja u matematičkom području kao član Vijeća za nacionalni kurikulum i član Radne skupine za izradu Nacionalnoga okvirnog kurikuluma za matematiku.

Godine 2011. prijavio je projekt V. gimnazije IPAQ Peta - afirmativna nastava i inovativno poučavanje u gimnazijama u okviru HKO koji je realiziran s timovima četiriju gimnazija - iz Vukovara, Pakraca, Knina i Metkovića - te Prirodoslovno-matematičkim fakultetom iz Zagreba, uz sudjelovanje 1200 učenika i 1000 nastavnika.

Osmislio je i organizirao projekt dvogodišnjih okupljanja učitelja i nastavnika matematike (susreti i kongresi nastavnika matematike) na kojima su izlagali hrvatski nastavnici, kao i najugledniji strani stručnjaci iz područja nastave matematike.

Utemeljio je hrvatski ogranak TTT (Teacher Teaching Technology).

Utemeljio je i više godina vodio Geometrijske radionice HMD-a.

Kao nastavnik, a posebno kao ravnatelj V. gimnazije, aktivno je uključen u zajednicu, osnažuje demokratske procese, toleranciju i solidarnost među mladim ljudima i njihovim roditeljima.

U slobodnom vremenu bavio se i suđenjem rukometnih utakmica. Prvi je hrvatski međunarodni sudac koji je licencu postigao u Lijepoj Našoj. Od 1993. do 1999. godine bio je član tzv. elitne liste sudaca IHF-a (International handball federation). Sudio je utakmice na Olimpijadi u Atlanti, na 4 svjetska prvenstva, 3 europska, 2 azijska i na mediteranskim igrama. Sudio je završnu utakmicu japanskog prvenstva, kao i tuniskog. Također je sudio 7 završnih utakmica europskih kupova, utakmice na dva svjetska kupa te prvi europski super kup. Na obilježavanju 100 godina športa u Austriji sudio je utakmicu između ženskih reprezentacija Austrije i Svijeta. Ukupno je sudio na više od 250 međunarodnih utakmica.

Odlikovan je Spomenicom Domovinskog rata 1990. - 1992., odličjem Reda hrvatskog pletera i dobitnik je Državne nagrade Ivan Filipović za godinu 2015.

$$ *\ *\ *\ *\ *\ $$

Nikol Radović rođena je 1963. godine u Sisku. Diplomirala je na Matematičkom odsjeku Prirodoslovno-matematičkog fakultetu Sveučilišta u Zagrebu, na smjeru Geometrija i topologija.

Godine 1997. magistrirala je na istome odsjeku s temom Reed-Müllerovi kodovi. Radi kao viša predavačica na Katedri za matematiku i fiziku Zavoda za geomatiku Geodetskog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu.

Područje autoričina znanstvenog i stručnog interesa je primjena matematike u drugim znanostima (kemija, kristolografija, fizika, geodezija i geomagnetizam). U razdoblju od 1992. do 2000. godine surađuje unutar projekta Ministarstva znanosti Studij separacije i analize, te strukture i svojstava materijala (1992. - 1996.) br 1 - 07 071 i Separacija, struktura i sustav metalnih materijala (1997. - 2000.), br. 124003, volonterski, na matematičkoj obradi podataka. Rezultat toga je velik broj objavljenih znanstvenih i stručnih radova u domaćim i stranim časopisima, kao i sudjelovanja na znanstvenim i stručnim skupovima.

Koautorica je udžbenika iz matematike za osnovnu školu (od 5. do 8. razreda), te knjige Nacrtna geometrija: Perspektiva - Mongeov postupak - Aksonometrija.

Aktivno sudjeluje u aktivnostima Nastavne sekcije Hrvatskog matematičkog društva u organiziranju i provedbi metodičkih radionica za učenike i nastavnike na popularizaciji matematike kao i primjeni tehnolgije u nastavi matematike, te u nizu projekata, primjerice Matematika uz pomoć računala i računalnog programa Sketchpad (2007. - 2010.) u organizaciji Hrvatskog matematičkog društva i CARNET-a kao jedan od koordinatora.

Sudjeluje u projektima Geopotencijal i geodinamika Jadrana (Geo ++Adria) (od 2007.), Joint Croatian - Hungarian Geomagnetic Repeat Station Survey and Joint Geomagnetic Field Model (od 2009.), Dynamic Number) u organizaciji National Science Foundation, U.S.A. i KCP Tehnologies (od lipnja 2010.), IPAQ Peta - projekt V. gimnazije i PMF-a u Zagrebu u okviru Further development and implementation of the Croatian Qualifications Framework (od lipnja 2013. do veljače 2015.) te Matematičkim znanstvenim izazovima na Večerima matematike u organizaciji HMD-a (od lipnja 2013.).